Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36041 / 104761
↖ ↑ ↗
← S 72.653857°
W 81.010437°		 ← 91.04 m → S 72.653857°
W 81.007691°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 72.654676°
W 81.010437°		 ← 91.04 m →
8 294 m²		 S 72.654676°
W 81.007691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274974822998047 y=0.799266815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274974822998047 × 217)
    floor (0.274974822998047 × 131072)
    floor (36041.5)     		tx = 36041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799266815185547 × 217)
    floor (0.799266815185547 × 131072)
    floor (104761.5)     		ty = 104761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36041 / 104761 ti = "17/36041/104761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36041/104761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36041 ÷ 217
    36041 ÷ 131072     		x = 0.274971008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104761 ÷ 217
    104761 ÷ 131072     		y = 0.799263000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274971008300781 × 2 - 1) × π
    -0.450057983398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.41389885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799263000488281 × 2 - 1) × π
    -0.598526000976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.8803248875967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41389885} λ = -1.41389885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8803248875967))-π/2
    2×atan(0.152540539176364)-π/2
    2×0.151373651727057-π/2
    0.302747303454114-1.57079632675     		φ = -1.26804902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41389885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.010437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26804902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.653857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36041 KachelY 104761 -1.41389885 -1.26804902 -81.010437 -72.653857
    Oben rechts KachelX + 1 36042 KachelY 104761 -1.41385092 -1.26804902 -81.007691 -72.653857
    Unten links KachelX 36041 KachelY + 1 104762 -1.41389885 -1.26806332 -81.010437 -72.654676
    Unten rechts KachelX + 1 36042 KachelY + 1 104762 -1.41385092 -1.26806332 -81.007691 -72.654676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26804902--1.26806332) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26804902--1.26806332) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41389885--1.41385092) × cos(-1.26804902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.298143690540276 × 6371000     		do = 91.0417625751261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41389885--1.41385092) × cos(-1.26806332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29813004085949 × 6371000     		du = 91.0375944808925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26804902)-sin(-1.26806332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298143690540276-0.29813004085949)×R²
    abs(-1.41385092--1.41389885)×1.36496807858211e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36496807858211e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36496807858211e-05×40589641000000     		ar = 8294.19722442204m²