Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36040 / 104889
↖ ↑ ↗
← S 72.758367°
W 81.013184°		 ← 90.53 m → S 72.758367°
W 81.010437°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 72.759181°
W 81.013184°		 ← 90.52 m →
8 196 m²		 S 72.759181°
W 81.010437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274967193603516 y=0.800243377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274967193603516 × 217)
    floor (0.274967193603516 × 131072)
    floor (36040.5)     		tx = 36040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800243377685547 × 217)
    floor (0.800243377685547 × 131072)
    floor (104889.5)     		ty = 104889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36040 / 104889 ti = "17/36040/104889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36040/104889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36040 ÷ 217
    36040 ÷ 131072     		x = 0.27496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104889 ÷ 217
    104889 ÷ 131072     		y = 0.800239562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41394679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800239562988281 × 2 - 1) × π
    -0.600479125976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.88646081074807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41394679} λ = -1.41394679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88646081074807))-π/2
    2×atan(0.151607427827872)-π/2
    2×0.150461632253874-π/2
    0.300923264507748-1.57079632675     		φ = -1.26987306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41394679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.013184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26987306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.758367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36040 KachelY 104889 -1.41394679 -1.26987306 -81.013184 -72.758367
    Oben rechts KachelX + 1 36041 KachelY 104889 -1.41389885 -1.26987306 -81.010437 -72.758367
    Unten links KachelX 36040 KachelY + 1 104890 -1.41394679 -1.26988727 -81.013184 -72.759181
    Unten rechts KachelX + 1 36041 KachelY + 1 104890 -1.41389885 -1.26988727 -81.010437 -72.759181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26987306--1.26988727) × R
    1.42099999997924e-05 × 6371000     		dl = 90.5319099986777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26987306--1.26988727) × R
    1.42099999997924e-05 × 6371000     		dr = 90.5319099986777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41394679--1.41389885) × cos(-1.26987306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296402111040501 × 6371000     		do = 90.5288341020478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41394679--1.41389885) × cos(-1.26988727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296388539561964 × 6371000     		du = 90.5246890231729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26987306)-sin(-1.26988727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296402111040501-0.296388539561964)×R²
    abs(-1.41389885--1.41394679)×1.35714785365892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35714785365892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35714785365892e-05×40589641000000     		ar = 8195.56063050047m²