Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36040 / 104760
↖ ↑ ↗
← S 72.653038°
W 81.013184°		 ← 91.06 m → S 72.653038°
W 81.010437°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 72.653857°
W 81.013184°		 ← 91.06 m →
8 291 m²		 S 72.653857°
W 81.010437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274967193603516 y=0.799259185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274967193603516 × 217)
    floor (0.274967193603516 × 131072)
    floor (36040.5)     		tx = 36040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799259185791016 × 217)
    floor (0.799259185791016 × 131072)
    floor (104760.5)     		ty = 104760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36040 / 104760 ti = "17/36040/104760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36040/104760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36040 ÷ 217
    36040 ÷ 131072     		x = 0.27496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104760 ÷ 217
    104760 ÷ 131072     		y = 0.79925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41394679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79925537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5985107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88027695069708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41394679} λ = -1.41394679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88027695069708))-π/2
    2×atan(0.152547851672146)-π/2
    2×0.151380797932556-π/2
    0.302761595865112-1.57079632675     		φ = -1.26803473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41394679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.013184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26803473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.653038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36040 KachelY 104760 -1.41394679 -1.26803473 -81.013184 -72.653038
    Oben rechts KachelX + 1 36041 KachelY 104760 -1.41389885 -1.26803473 -81.010437 -72.653038
    Unten links KachelX 36040 KachelY + 1 104761 -1.41394679 -1.26804902 -81.013184 -72.653857
    Unten rechts KachelX + 1 36041 KachelY + 1 104761 -1.41389885 -1.26804902 -81.010437 -72.653857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26803473--1.26804902) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26803473--1.26804902) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41394679--1.41389885) × cos(-1.26803473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298157330614927 × 6371000     		do = 91.0649233394289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41394679--1.41389885) × cos(-1.26804902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298143690540276 × 6371000     		du = 91.060757309535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26803473)-sin(-1.26804902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298157330614927-0.298143690540276)×R²
    abs(-1.41389885--1.41394679)×1.36400746510446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36400746510446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36400746510446e-05×40589641000000     		ar = 8290.50577308097m²