Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36040 / 104759
↖ ↑ ↗
← S 72.652220°
W 81.013184°		 ← 91.07 m → S 72.652220°
W 81.010437°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 72.653038°
W 81.013184°		 ← 91.06 m →
8 291 m²		 S 72.653038°
W 81.010437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274967193603516 y=0.799251556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274967193603516 × 217)
    floor (0.274967193603516 × 131072)
    floor (36040.5)     		tx = 36040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799251556396484 × 217)
    floor (0.799251556396484 × 131072)
    floor (104759.5)     		ty = 104759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36040 / 104759 ti = "17/36040/104759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36040/104759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36040 ÷ 217
    36040 ÷ 131072     		x = 0.27496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104759 ÷ 217
    104759 ÷ 131072     		y = 0.799247741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41394679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799247741699219 × 2 - 1) × π
    -0.598495483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.88022901379746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41394679} λ = -1.41394679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88022901379746))-π/2
    2×atan(0.152555164518475)-π/2
    2×0.151387944465048-π/2
    0.302775888930096-1.57079632675     		φ = -1.26802044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41394679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.013184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26802044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.652220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36040 KachelY 104759 -1.41394679 -1.26802044 -81.013184 -72.652220
    Oben rechts KachelX + 1 36041 KachelY 104759 -1.41389885 -1.26802044 -81.010437 -72.652220
    Unten links KachelX 36040 KachelY + 1 104760 -1.41394679 -1.26803473 -81.013184 -72.653038
    Unten rechts KachelX + 1 36041 KachelY + 1 104760 -1.41389885 -1.26803473 -81.010437 -72.653038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26802044--1.26803473) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dl = 91.0415900012387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26802044--1.26803473) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dr = 91.0415900012387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41394679--1.41389885) × cos(-1.26802044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298170970628693 × 6371000     		do = 91.0690893507271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41394679--1.41389885) × cos(-1.26803473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298157330614927 × 6371000     		du = 91.0649233394289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26802044)-sin(-1.26803473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298170970628693-0.298157330614927)×R²
    abs(-1.41389885--1.41394679)×1.36400137663029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36400137663029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36400137663029e-05×40589641000000     		ar = 8290.88505436318m²