Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3604 / 2580
↖ ↑ ↗
← N 76.740397°
W100.810547°		 ← 560.38 m → N 76.740397°
W100.788574°		 →
↑
560.46 m
↓
↑
560.46 m
↓
N 76.735357°
W100.810547°		 ← 560.59 m →
314 130 m²		 N 76.735357°
W100.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220001220703125 y=0.157501220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220001220703125 × 214)
    floor (0.220001220703125 × 16384)
    floor (3604.5)     		tx = 3604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157501220703125 × 214)
    floor (0.157501220703125 × 16384)
    floor (2580.5)     		ty = 2580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3604 / 2580 ti = "14/3604/2580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3604/2580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3604 ÷ 214
    3604 ÷ 16384     		x = 0.219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2580 ÷ 214
    2580 ÷ 16384     		y = 0.157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157470703125 × 2 - 1) × π
    0.68505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15217504534204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75947596} λ = -1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15217504534204))-π/2
    2×atan(8.60355117489696)-π/2
    2×1.45508446404565-π/2
    2.9101689280913-1.57079632675     		φ = 1.33937260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33937260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.740397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3604 KachelY 2580 -1.75947596 1.33937260 -100.810547 76.740397
    Oben rechts KachelX + 1 3605 KachelY 2580 -1.75909247 1.33937260 -100.788574 76.740397
    Unten links KachelX 3604 KachelY + 1 2581 -1.75947596 1.33928463 -100.810547 76.735357
    Unten rechts KachelX + 1 3605 KachelY + 1 2581 -1.75909247 1.33928463 -100.788574 76.735357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33937260-1.33928463) × R
    8.79699999998262e-05 × 6371000     		dl = 560.456869998893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33937260-1.33928463) × R
    8.79699999998262e-05 × 6371000     		dr = 560.456869998893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75947596--1.75909247) × cos(1.33937260) × R
    0.000383490000000153 × 0.229363526947781 × 6371000     		do = 560.384361325605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75947596--1.75909247) × cos(1.33928463) × R
    0.000383490000000153 × 0.229449150853047 × 6371000     		du = 560.59355891733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33937260)-sin(1.33928463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229363526947781-0.229449150853047)×R²
    abs(-1.75909247--1.75947596)×8.56239052667851e-05×R²
    0.000383490000000153×8.56239052667851e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.56239052667851e-05×40589641000000     		ar = 314129.888461073m²