Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36038 / 105021
↖ ↑ ↗
← S 72.865503°
W 81.018676°		 ← 89.96 m → S 72.865503°
W 81.015930°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
S 72.866312°
W 81.018676°		 ← 89.96 m →
8 093 m²		 S 72.866312°
W 81.015930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274951934814453 y=0.801250457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274951934814453 × 217)
    floor (0.274951934814453 × 131072)
    floor (36038.5)     		tx = 36038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801250457763672 × 217)
    floor (0.801250457763672 × 131072)
    floor (105021.5)     		ty = 105021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36038 / 105021 ti = "17/36038/105021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36038/105021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36038 ÷ 217
    36038 ÷ 131072     		x = 0.274948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105021 ÷ 217
    105021 ÷ 131072     		y = 0.801246643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.450103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41404266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801246643066406 × 2 - 1) × π
    -0.602493286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.89278848149792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41404266} λ = -1.41404266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89278848149792))-π/2
    2×atan(0.1506511346862)-π/2
    2×0.149526693239937-π/2
    0.299053386479875-1.57079632675     		φ = -1.27174294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41404266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.018676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27174294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.865503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36038 KachelY 105021 -1.41404266 -1.27174294 -81.018676 -72.865503
    Oben rechts KachelX + 1 36039 KachelY 105021 -1.41399473 -1.27174294 -81.015930 -72.865503
    Unten links KachelX 36038 KachelY + 1 105022 -1.41404266 -1.27175706 -81.018676 -72.866312
    Unten rechts KachelX + 1 36039 KachelY + 1 105022 -1.41399473 -1.27175706 -81.015930 -72.866312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27174294--1.27175706) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dl = 89.9585200007478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27174294--1.27175706) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dr = 89.9585200007478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41404266--1.41399473) × cos(-1.27174294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29461574025612 × 6371000     		do = 89.9644605146165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41404266--1.41399473) × cos(-1.27175706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294602246931593 × 6371000     		du = 89.9603401656475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27174294)-sin(-1.27175706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29461574025612-0.294602246931593)×R²
    abs(-1.41399473--1.41404266)×1.34933245270474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34933245270474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34933245270474e-05×40589641000000     		ar = 8092.88439036571m²