Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36038 / 104894
↖ ↑ ↗
← S 72.762437°
W 81.018676°		 ← 90.49 m → S 72.762437°
W 81.015930°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.763251°
W 81.018676°		 ← 90.49 m →
8 186 m²		 S 72.763251°
W 81.015930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274951934814453 y=0.800281524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274951934814453 × 217)
    floor (0.274951934814453 × 131072)
    floor (36038.5)     		tx = 36038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800281524658203 × 217)
    floor (0.800281524658203 × 131072)
    floor (104894.5)     		ty = 104894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36038 / 104894 ti = "17/36038/104894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36038/104894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36038 ÷ 217
    36038 ÷ 131072     		x = 0.274948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104894 ÷ 217
    104894 ÷ 131072     		y = 0.800277709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.450103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41404266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800277709960938 × 2 - 1) × π
    -0.600555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88670049524617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41404266} λ = -1.41404266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88670049524617))-π/2
    2×atan(0.151571094232099)-π/2
    2×0.150426114823926-π/2
    0.300852229647852-1.57079632675     		φ = -1.26994410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41404266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.018676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26994410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.762437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36038 KachelY 104894 -1.41404266 -1.26994410 -81.018676 -72.762437
    Oben rechts KachelX + 1 36039 KachelY 104894 -1.41399473 -1.26994410 -81.015930 -72.762437
    Unten links KachelX 36038 KachelY + 1 104895 -1.41404266 -1.26995830 -81.018676 -72.763251
    Unten rechts KachelX + 1 36039 KachelY + 1 104895 -1.41399473 -1.26995830 -81.015930 -72.763251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26994410--1.26995830) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dl = 90.4682000004795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26994410--1.26995830) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dr = 90.4682000004795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41404266--1.41399473) × cos(-1.26994410) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296334262600207 × 6371000     		do = 90.4892319862078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41404266--1.41399473) × cos(-1.26995830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296320700373385 × 6371000     		du = 90.485090597094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26994410)-sin(-1.26995830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296334262600207-0.296320700373385)×R²
    abs(-1.41399473--1.41404266)×1.35622268223612e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35622268223612e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35622268223612e-05×40589641000000     		ar = 8186.21060521253m²