Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36037 / 37749
↖ ↑ ↗
← S 26.377107°
E 17.957153°		 ← 547.20 m → S 26.377107°
E 17.962646°		 →
↑
547.21 m
↓
↑
547.21 m
↓
S 26.382028°
E 17.957153°		 ← 547.17 m →
299 423 m²		 S 26.382028°
E 17.962646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549888610839844 y=0.576011657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549888610839844 × 216)
    floor (0.549888610839844 × 65536)
    floor (36037.5)     		tx = 36037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576011657714844 × 216)
    floor (0.576011657714844 × 65536)
    floor (37749.5)     		ty = 37749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36037 / 37749 ti = "16/36037/37749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36037/37749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36037 ÷ 216
    36037 ÷ 65536     		x = 0.549880981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37749 ÷ 216
    37749 ÷ 65536     		y = 0.576004028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549880981445312 × 2 - 1) × π
    0.099761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31341145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576004028320312 × 2 - 1) × π
    -0.152008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.477547394014999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31341145} λ = 0.31341145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477547394014999))-π/2
    2×atan(0.620302886255212)-π/2
    2×0.555214482879176-π/2
    1.11042896575835-1.57079632675     		φ = -0.46036736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31341145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.957153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46036736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.377107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36037 KachelY 37749 0.31341145 -0.46036736 17.957153 -26.377107
    Oben rechts KachelX + 1 36038 KachelY 37749 0.31350732 -0.46036736 17.962646 -26.377107
    Unten links KachelX 36037 KachelY + 1 37750 0.31341145 -0.46045325 17.957153 -26.382028
    Unten rechts KachelX + 1 36038 KachelY + 1 37750 0.31350732 -0.46045325 17.962646 -26.382028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46036736--0.46045325) × R
    8.58899999999774e-05 × 6371000     		dl = 547.205189999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46036736--0.46045325) × R
    8.58899999999774e-05 × 6371000     		dr = 547.205189999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31341145-0.31350732) × cos(-0.46036736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895889348289967 × 6371000     		do = 547.198257208771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31341145-0.31350732) × cos(-0.46045325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89585118601241 × 6371000     		du = 547.174948156363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46036736)-sin(-0.46045325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895889348289967-0.89585118601241)×R²
    abs(0.31350732-0.31341145)×3.81622775574852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81622775574852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81622775574852e-05×40589641000000     		ar = 299423.349070503m²