Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36035 / 37792
↖ ↑ ↗
← S 26.588527°
E 17.946167°		 ← 546.25 m → S 26.588527°
E 17.951660°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
S 26.593439°
E 17.946167°		 ← 546.23 m →
298 348 m²		 S 26.593439°
E 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549858093261719 y=0.576667785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549858093261719 × 216)
    floor (0.549858093261719 × 65536)
    floor (36035.5)     		tx = 36035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576667785644531 × 216)
    floor (0.576667785644531 × 65536)
    floor (37792.5)     		ty = 37792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36035 / 37792 ti = "16/36035/37792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36035/37792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36035 ÷ 216
    36035 ÷ 65536     		x = 0.549850463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37792 ÷ 216
    37792 ÷ 65536     		y = 0.57666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549850463867188 × 2 - 1) × π
    0.099700927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31321970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31321970} λ = 0.31321970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481669967382324))-π/2
    2×atan(0.617750906073797)-π/2
    2×0.553369492415388-π/2
    1.10673898483078-1.57079632675     		φ = -0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31321970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.946167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36035 KachelY 37792 0.31321970 -0.46405734 17.946167 -26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 36036 KachelY 37792 0.31331558 -0.46405734 17.951660 -26.588527
    Unten links KachelX 36035 KachelY + 1 37793 0.31321970 -0.46414307 17.946167 -26.593439
    Unten rechts KachelX + 1 36036 KachelY + 1 37793 0.31331558 -0.46414307 17.951660 -26.593439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46405734--0.46414307) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46405734--0.46414307) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31321970-0.31331558) × cos(-0.46405734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 546.25019675652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31321970-0.31331558) × cos(-0.46414307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		du = 546.226755744937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46405734)-sin(-0.46414307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894205504331394)×R²
    abs(0.31331558-0.31321970)×3.83743223210109e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83743223210109e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83743223210109e-05×40589641000000     		ar = 298347.715711651m²