Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36033 / 37805
↖ ↑ ↗
← S 26.652368°
E 17.935180°		 ← 545.95 m → S 26.652368°
E 17.940674°		 →
↑
545.87 m
↓
↑
545.87 m
↓
S 26.657277°
E 17.935180°		 ← 545.92 m →
298 007 m²		 S 26.657277°
E 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549827575683594 y=0.576866149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549827575683594 × 216)
    floor (0.549827575683594 × 65536)
    floor (36033.5)     		tx = 36033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576866149902344 × 216)
    floor (0.576866149902344 × 65536)
    floor (37805.5)     		ty = 37805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36033 / 37805 ti = "16/36033/37805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36033/37805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36033 ÷ 216
    36033 ÷ 65536     		x = 0.549819946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37805 ÷ 216
    37805 ÷ 65536     		y = 0.576858520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549819946289062 × 2 - 1) × π
    0.099639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31302795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576858520507812 × 2 - 1) × π
    -0.153717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.482916326772446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31302795} λ = 0.31302795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482916326772446))-π/2
    2×atan(0.616981446042731)-π/2
    2×0.552812373311317-π/2
    1.10562474662263-1.57079632675     		φ = -0.46517158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31302795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.935180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46517158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.652368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36033 KachelY 37805 0.31302795 -0.46517158 17.935180 -26.652368
    Oben rechts KachelX + 1 36034 KachelY 37805 0.31312383 -0.46517158 17.940674 -26.652368
    Unten links KachelX 36033 KachelY + 1 37806 0.31302795 -0.46525726 17.935180 -26.657277
    Unten rechts KachelX + 1 36034 KachelY + 1 37806 0.31312383 -0.46525726 17.940674 -26.657277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46517158--0.46525726) × R
    8.56800000000324e-05 × 6371000     		dl = 545.867280000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46517158--0.46525726) × R
    8.56800000000324e-05 × 6371000     		dr = 545.867280000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31302795-0.31312383) × cos(-0.46517158) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893744612065908 × 6371000     		do = 545.945219022444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31302795-0.31312383) × cos(-0.46525726) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893706174780328 × 6371000     		du = 545.92173954966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46517158)-sin(-0.46525726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893744612065908-0.893706174780328)×R²
    abs(0.31312383-0.31302795)×3.8437285580728e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8437285580728e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8437285580728e-05×40589641000000     		ar = 298007.223581155m²