Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36033 / 104769
↖ ↑ ↗
← S 72.660407°
W 81.032410°		 ← 91.03 m → S 72.660407°
W 81.029663°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 72.661226°
W 81.032410°		 ← 91.02 m →
8 287 m²		 S 72.661226°
W 81.029663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274913787841797 y=0.799327850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274913787841797 × 217)
    floor (0.274913787841797 × 131072)
    floor (36033.5)     		tx = 36033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799327850341797 × 217)
    floor (0.799327850341797 × 131072)
    floor (104769.5)     		ty = 104769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36033 / 104769 ti = "17/36033/104769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36033/104769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36033 ÷ 217
    36033 ÷ 131072     		x = 0.274909973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104769 ÷ 217
    104769 ÷ 131072     		y = 0.799324035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274909973144531 × 2 - 1) × π
    -0.450180053710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41428235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799324035644531 × 2 - 1) × π
    -0.598648071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.88070838279366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41428235} λ = -1.41428235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88070838279366))-π/2
    2×atan(0.152482051827773)-π/2
    2×0.151316493853209-π/2
    0.302632987706418-1.57079632675     		φ = -1.26816334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41428235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.032410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26816334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.660407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36033 KachelY 104769 -1.41428235 -1.26816334 -81.032410 -72.660407
    Oben rechts KachelX + 1 36034 KachelY 104769 -1.41423441 -1.26816334 -81.029663 -72.660407
    Unten links KachelX 36033 KachelY + 1 104770 -1.41428235 -1.26817763 -81.032410 -72.661226
    Unten rechts KachelX + 1 36034 KachelY + 1 104770 -1.41423441 -1.26817763 -81.029663 -72.661226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26816334--1.26817763) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26816334--1.26817763) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41428235--1.41423441) × cos(-1.26816334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298034567751543 × 6371000     		do = 91.0274284010355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41428235--1.41423441) × cos(-1.26817763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298020927129053 × 6371000     		du = 91.0232622038174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26816334)-sin(-1.26817763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298034567751543-0.298020927129053)×R²
    abs(-1.41423441--1.41428235)×1.3640622490263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3640622490263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3640622490263e-05×40589641000000     		ar = 8287.0921667931m²