Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36032 / 104888
↖ ↑ ↗
← S 72.757553°
W 81.035156°		 ← 90.53 m → S 72.757553°
W 81.032410°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 72.758367°
W 81.035156°		 ← 90.53 m →
8 196 m²		 S 72.758367°
W 81.032410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274906158447266 y=0.800235748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274906158447266 × 217)
    floor (0.274906158447266 × 131072)
    floor (36032.5)     		tx = 36032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800235748291016 × 217)
    floor (0.800235748291016 × 131072)
    floor (104888.5)     		ty = 104888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36032 / 104888 ti = "17/36032/104888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36032/104888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36032 ÷ 217
    36032 ÷ 131072     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104888 ÷ 217
    104888 ÷ 131072     		y = 0.80023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.6004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88641287384845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88641287384845))-π/2
    2×atan(0.151614695592118)-π/2
    2×0.150468736715573-π/2
    0.300937473431146-1.57079632675     		φ = -1.26985885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26985885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.757553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36032 KachelY 104888 -1.41433029 -1.26985885 -81.035156 -72.757553
    Oben rechts KachelX + 1 36033 KachelY 104888 -1.41428235 -1.26985885 -81.032410 -72.757553
    Unten links KachelX 36032 KachelY + 1 104889 -1.41433029 -1.26987306 -81.035156 -72.758367
    Unten rechts KachelX + 1 36033 KachelY + 1 104889 -1.41428235 -1.26987306 -81.032410 -72.758367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26985885--1.26987306) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26985885--1.26987306) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41428235) × cos(-1.26985885) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.296415682459187 × 6371000     		do = 90.5329791630622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41428235) × cos(-1.26987306) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.296402111040501 × 6371000     		du = 90.5288341024671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26985885)-sin(-1.26987306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296415682459187-0.296402111040501)×R²
    abs(-1.41428235--1.41433029)×1.35714186861313e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.35714186861313e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.35714186861313e-05×40589641000000     		ar = 8195.93589163132m²