Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36032 / 104768
↖ ↑ ↗
← S 72.659588°
W 81.035156°		 ← 91.03 m → S 72.659588°
W 81.032410°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 72.660407°
W 81.035156°		 ← 91.03 m →
8 287 m²		 S 72.660407°
W 81.032410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274906158447266 y=0.799320220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274906158447266 × 217)
    floor (0.274906158447266 × 131072)
    floor (36032.5)     		tx = 36032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799320220947266 × 217)
    floor (0.799320220947266 × 131072)
    floor (104768.5)     		ty = 104768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36032 / 104768 ti = "17/36032/104768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36032/104768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36032 ÷ 217
    36032 ÷ 131072     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104768 ÷ 217
    104768 ÷ 131072     		y = 0.79931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79931640625 × 2 - 1) × π
    -0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88066044589404))-π/2
    2×atan(0.152489361519786)-π/2
    2×0.151323637443247-π/2
    0.302647274886493-1.57079632675     		φ = -1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36032 KachelY 104768 -1.41433029 -1.26814905 -81.035156 -72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 36033 KachelY 104768 -1.41428235 -1.26814905 -81.032410 -72.659588
    Unten links KachelX 36032 KachelY + 1 104769 -1.41433029 -1.26816334 -81.035156 -72.660407
    Unten rechts KachelX + 1 36033 KachelY + 1 104769 -1.41428235 -1.26816334 -81.032410 -72.660407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26814905--1.26816334) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26814905--1.26816334) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41428235) × cos(-1.26814905) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 91.0315945800871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41428235) × cos(-1.26816334) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.298034567751543 × 6371000     		du = 91.0274284014571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26814905)-sin(-1.26816334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.298034567751543)×R²
    abs(-1.41428235--1.41433029)×1.36405616303348e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.36405616303348e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.36405616303348e-05×40589641000000     		ar = 8287.47146302008m²