Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36031 / 104766
↖ ↑ ↗
← S 72.657951°
W 81.037903°		 ← 91.02 m → S 72.657951°
W 81.035156°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
S 72.658770°
W 81.037903°		 ← 91.02 m →
8 281 m²		 S 72.658770°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274898529052734 y=0.799304962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274898529052734 × 217)
    floor (0.274898529052734 × 131072)
    floor (36031.5)     		tx = 36031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799304962158203 × 217)
    floor (0.799304962158203 × 131072)
    floor (104766.5)     		ty = 104766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36031 / 104766 ti = "17/36031/104766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36031/104766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36031 ÷ 217
    36031 ÷ 131072     		x = 0.274894714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104766 ÷ 217
    104766 ÷ 131072     		y = 0.799301147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274894714355469 × 2 - 1) × π
    -0.450210571289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41437822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799301147460938 × 2 - 1) × π
    -0.598602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8805645720948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41437822} λ = -1.41437822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8805645720948))-π/2
    2×atan(0.152503981955066)-π/2
    2×0.151337925603992-π/2
    0.302675851207984-1.57079632675     		φ = -1.26812048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41437822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.037903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26812048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.657951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36031 KachelY 104766 -1.41437822 -1.26812048 -81.037903 -72.657951
    Oben rechts KachelX + 1 36032 KachelY 104766 -1.41433029 -1.26812048 -81.035156 -72.657951
    Unten links KachelX 36031 KachelY + 1 104767 -1.41437822 -1.26813476 -81.037903 -72.658770
    Unten rechts KachelX + 1 36032 KachelY + 1 104767 -1.41433029 -1.26813476 -81.035156 -72.658770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26812048--1.26813476) × R
    1.42799999998111e-05 × 6371000     		dl = 90.9778799987966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26812048--1.26813476) × R
    1.42799999998111e-05 × 6371000     		dr = 90.9778799987966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41437822--1.41433029) × cos(-1.26812048) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.29807547970842 × 6371000     		do = 91.0209335766211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41437822--1.41433029) × cos(-1.26813476) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.298061848813941 × 6371000     		du = 91.0167712190123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26812048)-sin(-1.26813476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29807547970842-0.298061848813941)×R²
    abs(-1.41433029--1.41437822)×1.36308944790331e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.36308944790331e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.36308944790331e-05×40589641000000     		ar = 8280.70223107917m²