Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36030 / 105025
↖ ↑ ↗
← S 72.868740°
W 81.040649°		 ← 89.97 m → S 72.868740°
W 81.037903°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
S 72.869549°
W 81.040649°		 ← 89.96 m →
8 093 m²		 S 72.869549°
W 81.037903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274890899658203 y=0.801280975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274890899658203 × 217)
    floor (0.274890899658203 × 131072)
    floor (36030.5)     		tx = 36030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801280975341797 × 217)
    floor (0.801280975341797 × 131072)
    floor (105025.5)     		ty = 105025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36030 / 105025 ti = "17/36030/105025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36030/105025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36030 ÷ 217
    36030 ÷ 131072     		x = 0.274887084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105025 ÷ 217
    105025 ÷ 131072     		y = 0.801277160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.450225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41442616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801277160644531 × 2 - 1) × π
    -0.602554321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.8929802290964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41442616} λ = -1.41442616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8929802290964))-π/2
    2×atan(0.150622250462244)-π/2
    2×0.149498449897339-π/2
    0.298996899794678-1.57079632675     		φ = -1.27179943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41442616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.040649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27179943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.868740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36030 KachelY 105025 -1.41442616 -1.27179943 -81.040649 -72.868740
    Oben rechts KachelX + 1 36031 KachelY 105025 -1.41437822 -1.27179943 -81.037903 -72.868740
    Unten links KachelX 36030 KachelY + 1 105026 -1.41442616 -1.27181355 -81.040649 -72.869549
    Unten rechts KachelX + 1 36031 KachelY + 1 105026 -1.41437822 -1.27181355 -81.037903 -72.869549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27179943--1.27181355) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dl = 89.9585200007478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27179943--1.27181355) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dr = 89.9585200007478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41442616--1.41437822) × cos(-1.27179943) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.294561757049282 × 6371000     		do = 89.9667426228347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41442616--1.41437822) × cos(-1.27181355) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.294548263489785 × 6371000     		du = 89.9626213424401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27179943)-sin(-1.27181355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294561757049282-0.294548263489785)×R²
    abs(-1.41437822--1.41442616)×1.34935594970353e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.34935594970353e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.34935594970353e-05×40589641000000     		ar = 8093.08964364539m²