Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36030 / 104765
↖ ↑ ↗
← S 72.657133°
W 81.040649°		 ← 91.04 m → S 72.657133°
W 81.037903°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 72.657951°
W 81.040649°		 ← 91.04 m →
8 289 m²		 S 72.657951°
W 81.037903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274890899658203 y=0.799297332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274890899658203 × 217)
    floor (0.274890899658203 × 131072)
    floor (36030.5)     		tx = 36030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799297332763672 × 217)
    floor (0.799297332763672 × 131072)
    floor (104765.5)     		ty = 104765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36030 / 104765 ti = "17/36030/104765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36030/104765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36030 ÷ 217
    36030 ÷ 131072     		x = 0.274887084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104765 ÷ 217
    104765 ÷ 131072     		y = 0.799293518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.450225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41442616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799293518066406 × 2 - 1) × π
    -0.598587036132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.88051663519518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41442616} λ = -1.41442616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88051663519518))-π/2
    2×atan(0.152511292698366)-π/2
    2×0.151345070174726-π/2
    0.302690140349453-1.57079632675     		φ = -1.26810619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41442616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.040649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26810619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.657133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36030 KachelY 104765 -1.41442616 -1.26810619 -81.040649 -72.657133
    Oben rechts KachelX + 1 36031 KachelY 104765 -1.41437822 -1.26810619 -81.037903 -72.657133
    Unten links KachelX 36030 KachelY + 1 104766 -1.41442616 -1.26812048 -81.040649 -72.657951
    Unten rechts KachelX + 1 36031 KachelY + 1 104766 -1.41437822 -1.26812048 -81.037903 -72.657951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26810619--1.26812048) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dl = 91.0415900012387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26810619--1.26812048) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dr = 91.0415900012387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41442616--1.41437822) × cos(-1.26810619) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.298089120087497 × 6371000     		do = 91.0440900890347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41442616--1.41437822) × cos(-1.26812048) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.29807547970842 × 6371000     		du = 91.0399239661613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26810619)-sin(-1.26812048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298089120087497-0.29807547970842)×R²
    abs(-1.41437822--1.41442616)×1.36403790768624e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.36403790768624e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.36403790768624e-05×40589641000000     		ar = 8288.60907678978m²