Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36030 / 104762
↖ ↑ ↗
← S 72.654676°
W 81.040649°		 ← 91.06 m → S 72.654676°
W 81.037903°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 72.655495°
W 81.040649°		 ← 91.05 m →
8 290 m²		 S 72.655495°
W 81.037903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274890899658203 y=0.799274444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274890899658203 × 217)
    floor (0.274890899658203 × 131072)
    floor (36030.5)     		tx = 36030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799274444580078 × 217)
    floor (0.799274444580078 × 131072)
    floor (104762.5)     		ty = 104762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36030 / 104762 ti = "17/36030/104762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36030/104762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36030 ÷ 217
    36030 ÷ 131072     		x = 0.274887084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104762 ÷ 217
    104762 ÷ 131072     		y = 0.799270629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.450225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41442616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799270629882812 × 2 - 1) × π
    -0.598541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88037282449632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41442616} λ = -1.41442616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88037282449632))-π/2
    2×atan(0.152533227031111)-π/2
    2×0.151366505848538-π/2
    0.302733011697077-1.57079632675     		φ = -1.26806332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41442616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.040649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26806332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.654676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36030 KachelY 104762 -1.41442616 -1.26806332 -81.040649 -72.654676
    Oben rechts KachelX + 1 36031 KachelY 104762 -1.41437822 -1.26806332 -81.037903 -72.654676
    Unten links KachelX 36030 KachelY + 1 104763 -1.41442616 -1.26807761 -81.040649 -72.655495
    Unten rechts KachelX + 1 36031 KachelY + 1 104763 -1.41437822 -1.26807761 -81.037903 -72.655495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26806332--1.26807761) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26806332--1.26807761) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41442616--1.41437822) × cos(-1.26806332) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.29813004085949 × 6371000     		do = 91.056588346102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41442616--1.41437822) × cos(-1.26807761) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.298116400663035 × 6371000     		du = 91.0524222790059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26806332)-sin(-1.26807761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29813004085949-0.298116400663035)×R²
    abs(-1.41437822--1.41442616)×1.36401964551669e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.36401964551669e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.36401964551669e-05×40589641000000     		ar = 8289.7469405116m²