Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36029 / 104897
↖ ↑ ↗
← S 72.764879°
W 81.043396°		 ← 90.50 m → S 72.764879°
W 81.040649°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.765692°
W 81.043396°		 ← 90.49 m →
8 187 m²		 S 72.765692°
W 81.040649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274883270263672 y=0.800304412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274883270263672 × 217)
    floor (0.274883270263672 × 131072)
    floor (36029.5)     		tx = 36029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800304412841797 × 217)
    floor (0.800304412841797 × 131072)
    floor (104897.5)     		ty = 104897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36029 / 104897 ti = "17/36029/104897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36029/104897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36029 ÷ 217
    36029 ÷ 131072     		x = 0.274879455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104897 ÷ 217
    104897 ÷ 131072     		y = 0.800300598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274879455566406 × 2 - 1) × π
    -0.450241088867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41447410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800300598144531 × 2 - 1) × π
    -0.600601196289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.88684430594503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41447410} λ = -1.41447410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88684430594503))-π/2
    2×atan(0.151549298254396)-π/2
    2×0.150404808268312-π/2
    0.300809616536624-1.57079632675     		φ = -1.26998671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41447410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.043396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26998671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.764879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36029 KachelY 104897 -1.41447410 -1.26998671 -81.043396 -72.764879
    Oben rechts KachelX + 1 36030 KachelY 104897 -1.41442616 -1.26998671 -81.040649 -72.764879
    Unten links KachelX 36029 KachelY + 1 104898 -1.41447410 -1.27000091 -81.043396 -72.765692
    Unten rechts KachelX + 1 36030 KachelY + 1 104898 -1.41442616 -1.27000091 -81.040649 -72.765692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26998671--1.27000091) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dl = 90.4682000004795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26998671--1.27000091) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dr = 90.4682000004795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41447410--1.41442616) × cos(-1.26998671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296293566189524 × 6371000     		do = 90.495681710615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41447410--1.41442616) × cos(-1.27000091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296280003783417 × 6371000     		du = 90.4915394026937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26998671)-sin(-1.27000091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296293566189524-0.296280003783417)×R²
    abs(-1.41442616--1.41447410)×1.35624061065043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35624061065043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35624061065043e-05×40589641000000     		ar = 8186.79405863489m²