Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36029 / 104895
↖ ↑ ↗
← S 72.763251°
W 81.043396°		 ← 90.50 m → S 72.763251°
W 81.040649°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 72.764065°
W 81.043396°		 ← 90.50 m →
8 193 m²		 S 72.764065°
W 81.040649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274883270263672 y=0.800289154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274883270263672 × 217)
    floor (0.274883270263672 × 131072)
    floor (36029.5)     		tx = 36029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800289154052734 × 217)
    floor (0.800289154052734 × 131072)
    floor (104895.5)     		ty = 104895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36029 / 104895 ti = "17/36029/104895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36029/104895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36029 ÷ 217
    36029 ÷ 131072     		x = 0.274879455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104895 ÷ 217
    104895 ÷ 131072     		y = 0.800285339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274879455566406 × 2 - 1) × π
    -0.450241088867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41447410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800285339355469 × 2 - 1) × π
    -0.600570678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.88674843214579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41447410} λ = -1.41447410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88674843214579))-π/2
    2×atan(0.151563828557918)-π/2
    2×0.150419012313552-π/2
    0.300838024627104-1.57079632675     		φ = -1.26995830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41447410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.043396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26995830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.763251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36029 KachelY 104895 -1.41447410 -1.26995830 -81.043396 -72.763251
    Oben rechts KachelX + 1 36030 KachelY 104895 -1.41442616 -1.26995830 -81.040649 -72.763251
    Unten links KachelX 36029 KachelY + 1 104896 -1.41447410 -1.26997251 -81.043396 -72.764065
    Unten rechts KachelX + 1 36030 KachelY + 1 104896 -1.41442616 -1.26997251 -81.040649 -72.764065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26995830--1.26997251) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26995830--1.26997251) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41447410--1.41442616) × cos(-1.26995830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296320700373385 × 6371000     		do = 90.5039691888001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41447410--1.41442616) × cos(-1.26997251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296307128535886 × 6371000     		du = 90.4998240002886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26995830)-sin(-1.26997251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296320700373385-0.296307128535886)×R²
    abs(-1.41442616--1.41447410)×1.35718374994487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35718374994487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35718374994487e-05×40589641000000     		ar = 8193.30955758239m²