Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36028 / 105025
↖ ↑ ↗
← S 72.868740°
W 81.046142°		 ← 89.95 m → S 72.868740°
W 81.043396°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
S 72.869549°
W 81.046142°		 ← 89.94 m →
8 091 m²		 S 72.869549°
W 81.043396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274875640869141 y=0.801280975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274875640869141 × 217)
    floor (0.274875640869141 × 131072)
    floor (36028.5)     		tx = 36028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801280975341797 × 217)
    floor (0.801280975341797 × 131072)
    floor (105025.5)     		ty = 105025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36028 / 105025 ti = "17/36028/105025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36028/105025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36028 ÷ 217
    36028 ÷ 131072     		x = 0.274871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105025 ÷ 217
    105025 ÷ 131072     		y = 0.801277160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.45025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41452203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801277160644531 × 2 - 1) × π
    -0.602554321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.8929802290964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41452203} λ = -1.41452203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8929802290964))-π/2
    2×atan(0.150622250462244)-π/2
    2×0.149498449897339-π/2
    0.298996899794678-1.57079632675     		φ = -1.27179943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41452203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.046142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27179943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.868740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36028 KachelY 105025 -1.41452203 -1.27179943 -81.046142 -72.868740
    Oben rechts KachelX + 1 36029 KachelY 105025 -1.41447410 -1.27179943 -81.043396 -72.868740
    Unten links KachelX 36028 KachelY + 1 105026 -1.41452203 -1.27181355 -81.046142 -72.869549
    Unten rechts KachelX + 1 36029 KachelY + 1 105026 -1.41447410 -1.27181355 -81.043396 -72.869549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27179943--1.27181355) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dl = 89.9585200007478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27179943--1.27181355) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dr = 89.9585200007478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41452203--1.41447410) × cos(-1.27179943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294561757049282 × 6371000     		do = 89.9479760929905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41452203--1.41447410) × cos(-1.27181355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294548263489785 × 6371000     		du = 89.9438556722705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27179943)-sin(-1.27181355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294561757049282-0.294548263489785)×R²
    abs(-1.41447410--1.41452203)×1.34935594970353e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34935594970353e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34935594970353e-05×40589641000000     		ar = 8091.40147306255m²