Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36028 / 104900
↖ ↑ ↗
← S 72.767320°
W 81.046142°		 ← 90.46 m → S 72.767320°
W 81.043396°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.768133°
W 81.046142°		 ← 90.46 m →
8 184 m²		 S 72.768133°
W 81.043396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274875640869141 y=0.800327301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274875640869141 × 217)
    floor (0.274875640869141 × 131072)
    floor (36028.5)     		tx = 36028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800327301025391 × 217)
    floor (0.800327301025391 × 131072)
    floor (104900.5)     		ty = 104900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36028 / 104900 ti = "17/36028/104900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36028/104900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36028 ÷ 217
    36028 ÷ 131072     		x = 0.274871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104900 ÷ 217
    104900 ÷ 131072     		y = 0.800323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.45025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41452203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.60064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88698811664389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41452203} λ = -1.41452203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88698811664389))-π/2
    2×atan(0.151527505410961)-π/2
    2×0.150383504639019-π/2
    0.300767009278038-1.57079632675     		φ = -1.27002932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41452203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.046142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27002932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.767320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36028 KachelY 104900 -1.41452203 -1.27002932 -81.046142 -72.767320
    Oben rechts KachelX + 1 36029 KachelY 104900 -1.41447410 -1.27002932 -81.043396 -72.767320
    Unten links KachelX 36028 KachelY + 1 104901 -1.41452203 -1.27004352 -81.046142 -72.768133
    Unten rechts KachelX + 1 36029 KachelY + 1 104901 -1.41447410 -1.27004352 -81.043396 -72.768133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27002932--1.27004352) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dl = 90.4682000004795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27002932--1.27004352) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dr = 90.4682000004795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41452203--1.41447410) × cos(-1.27002932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296252869240886 × 6371000     		do = 90.464377544777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41452203--1.41447410) × cos(-1.27004352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29623930665552 × 6371000     		du = 90.4602360461776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27002932)-sin(-1.27004352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296252869240886-0.29623930665552)×R²
    abs(-1.41447410--1.41452203)×1.35625853660559e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35625853660559e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35625853660559e-05×40589641000000     		ar = 8183.96206390776m²