Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36025 / 47818
↖ ↑ ↗
← S 63.416115°
E 17.891235°		 ← 273.36 m → S 63.416115°
E 17.896729°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 63.418573°
E 17.891235°		 ← 273.34 m →
74 711 m²		 S 63.418573°
E 17.896729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549705505371094 y=0.729652404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549705505371094 × 216)
    floor (0.549705505371094 × 65536)
    floor (36025.5)     		tx = 36025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729652404785156 × 216)
    floor (0.729652404785156 × 65536)
    floor (47818.5)     		ty = 47818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36025 / 47818 ti = "16/36025/47818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36025/47818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36025 ÷ 216
    36025 ÷ 65536     		x = 0.549697875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47818 ÷ 216
    47818 ÷ 65536     		y = 0.729644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549697875976562 × 2 - 1) × π
    0.099395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31226096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.45928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44290067856369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31226096} λ = 0.31226096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44290067856369))-π/2
    2×atan(0.236241503195834)-π/2
    2×0.231988164019985-π/2
    0.46397632803997-1.57079632675     		φ = -1.10682000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31226096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.891235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10682000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.416115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36025 KachelY 47818 0.31226096 -1.10682000 17.891235 -63.416115
    Oben rechts KachelX + 1 36026 KachelY 47818 0.31235684 -1.10682000 17.896729 -63.416115
    Unten links KachelX 36025 KachelY + 1 47819 0.31226096 -1.10686290 17.891235 -63.418573
    Unten rechts KachelX + 1 36026 KachelY + 1 47819 0.31235684 -1.10686290 17.896729 -63.418573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10682000--1.10686290) × R
    4.29000000001789e-05 × 6371000     		dl = 273.31590000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10682000--1.10686290) × R
    4.29000000001789e-05 × 6371000     		dr = 273.31590000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31226096-0.31235684) × cos(-1.10682000) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.447507585465944 × 6371000     		do = 273.360670893236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31226096-0.31235684) × cos(-1.10686290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.447469220436339 × 6371000     		du = 273.337235558121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10682000)-sin(-1.10686290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447507585465944-0.447469220436339)×R²
    abs(0.31235684-0.31226096)×3.83650296048588e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.83650296048588e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.83650296048588e-05×40589641000000     		ar = 74710.6151768533m²