Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36022 / 105358
↖ ↑ ↗
← S 73.136104°
W 81.062622°		 ← 88.60 m → S 73.136104°
W 81.059876°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
S 73.136901°
W 81.062622°		 ← 88.60 m →
7 852 m²		 S 73.136901°
W 81.059876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274829864501953 y=0.803821563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274829864501953 × 217)
    floor (0.274829864501953 × 131072)
    floor (36022.5)     		tx = 36022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803821563720703 × 217)
    floor (0.803821563720703 × 131072)
    floor (105358.5)     		ty = 105358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36022 / 105358 ti = "17/36022/105358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36022/105358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36022 ÷ 217
    36022 ÷ 131072     		x = 0.274826049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105358 ÷ 217
    105358 ÷ 131072     		y = 0.803817749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274826049804688 × 2 - 1) × π
    -0.450347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41480966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803817749023438 × 2 - 1) × π
    -0.607635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90894321666988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41480966} λ = -1.41480966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90894321666988))-π/2
    2×atan(0.148236958196092)-π/2
    2×0.147165256987426-π/2
    0.294330513974853-1.57079632675     		φ = -1.27646581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41480966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.062622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27646581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.136104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36022 KachelY 105358 -1.41480966 -1.27646581 -81.062622 -73.136104
    Oben rechts KachelX + 1 36023 KachelY 105358 -1.41476172 -1.27646581 -81.059876 -73.136104
    Unten links KachelX 36022 KachelY + 1 105359 -1.41480966 -1.27647972 -81.062622 -73.136901
    Unten rechts KachelX + 1 36023 KachelY + 1 105359 -1.41476172 -1.27647972 -81.059876 -73.136901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27646581--1.27647972) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27646581--1.27647972) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41480966--1.41476172) × cos(-1.27646581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290099222050677 × 6371000     		do = 88.6037695681941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41480966--1.41476172) × cos(-1.27647972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290085910200277 × 6371000     		du = 88.5997037864349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27646581)-sin(-1.27647972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290099222050677-0.290085910200277)×R²
    abs(-1.41476172--1.41480966)×1.33118503999885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33118503999885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33118503999885e-05×40589641000000     		ar = 7851.93995169007m²