Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36022 / 105026
↖ ↑ ↗
← S 72.869549°
W 81.062622°		 ← 89.96 m → S 72.869549°
W 81.059876°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
S 72.870358°
W 81.062622°		 ← 89.96 m →
8 093 m²		 S 72.870358°
W 81.059876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274829864501953 y=0.801288604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274829864501953 × 217)
    floor (0.274829864501953 × 131072)
    floor (36022.5)     		tx = 36022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801288604736328 × 217)
    floor (0.801288604736328 × 131072)
    floor (105026.5)     		ty = 105026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36022 / 105026 ti = "17/36022/105026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36022/105026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36022 ÷ 217
    36022 ÷ 131072     		x = 0.274826049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105026 ÷ 217
    105026 ÷ 131072     		y = 0.801284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274826049804688 × 2 - 1) × π
    -0.450347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41480966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801284790039062 × 2 - 1) × π
    -0.602569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89302816599602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41480966} λ = -1.41480966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89302816599602))-π/2
    2×atan(0.150615030271601)-π/2
    2×0.149491389870292-π/2
    0.298982779740585-1.57079632675     		φ = -1.27181355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41480966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.062622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27181355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.869549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36022 KachelY 105026 -1.41480966 -1.27181355 -81.062622 -72.869549
    Oben rechts KachelX + 1 36023 KachelY 105026 -1.41476172 -1.27181355 -81.059876 -72.869549
    Unten links KachelX 36022 KachelY + 1 105027 -1.41480966 -1.27182767 -81.062622 -72.870358
    Unten rechts KachelX + 1 36023 KachelY + 1 105027 -1.41476172 -1.27182767 -81.059876 -72.870358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27181355--1.27182767) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dl = 89.9585199993331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27181355--1.27182767) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dr = 89.9585199993331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41480966--1.41476172) × cos(-1.27181355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294548263489785 × 6371000     		do = 89.9626213420234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41480966--1.41476172) × cos(-1.27182767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294534769871562 × 6371000     		du = 89.9585000436926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27181355)-sin(-1.27182767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294548263489785-0.294534769871562)×R²
    abs(-1.41476172--1.41480966)×1.34936182222267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34936182222267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34936182222267e-05×40589641000000     		ar = 8092.71889828789m²