Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36020 / 37779
↖ ↑ ↗
← S 26.524650°
E 17.863770°		 ← 546.50 m → S 26.524650°
E 17.869263°		 →
↑
546.50 m
↓
↑
546.50 m
↓
S 26.529565°
E 17.863770°		 ← 546.47 m →
298 657 m²		 S 26.529565°
E 17.869263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549629211425781 y=0.576469421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549629211425781 × 216)
    floor (0.549629211425781 × 65536)
    floor (36020.5)     		tx = 36020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576469421386719 × 216)
    floor (0.576469421386719 × 65536)
    floor (37779.5)     		ty = 37779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36020 / 37779 ti = "16/36020/37779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36020/37779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36020 ÷ 216
    36020 ÷ 65536     		x = 0.54962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37779 ÷ 216
    37779 ÷ 65536     		y = 0.576461791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54962158203125 × 2 - 1) × π
    0.0992431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31178160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576461791992188 × 2 - 1) × π
    -0.152923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.480423607992203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31178160} λ = 0.31178160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480423607992203))-π/2
    2×atan(0.618521325726491)-π/2
    2×0.553926922392494-π/2
    1.10785384478499-1.57079632675     		φ = -0.46294248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31178160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.863770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46294248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.524650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36020 KachelY 37779 0.31178160 -0.46294248 17.863770 -26.524650
    Oben rechts KachelX + 1 36021 KachelY 37779 0.31187747 -0.46294248 17.869263 -26.524650
    Unten links KachelX 36020 KachelY + 1 37780 0.31178160 -0.46302826 17.863770 -26.529565
    Unten rechts KachelX + 1 36021 KachelY + 1 37780 0.31187747 -0.46302826 17.869263 -26.529565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46294248--0.46302826) × R
    8.57800000000353e-05 × 6371000     		dl = 546.504380000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46294248--0.46302826) × R
    8.57800000000353e-05 × 6371000     		dr = 546.504380000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31178160-0.31187747) × cos(-0.46294248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894742311891846 × 6371000     		do = 546.497661405053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31178160-0.31187747) × cos(-0.46302826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894704000727646 × 6371000     		du = 546.474261414505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46294248)-sin(-0.46302826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894742311891846-0.894704000727646)×R²
    abs(0.31187747-0.31178160)×3.83111642003886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83111642003886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83111642003886e-05×40589641000000     		ar = 298656.971702345m²