Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36020 / 104886
↖ ↑ ↗
← S 72.755924°
W 81.068115°		 ← 90.54 m → S 72.755924°
W 81.065369°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 72.756739°
W 81.068115°		 ← 90.54 m →
8 197 m²		 S 72.756739°
W 81.065369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274814605712891 y=0.800220489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274814605712891 × 217)
    floor (0.274814605712891 × 131072)
    floor (36020.5)     		tx = 36020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800220489501953 × 217)
    floor (0.800220489501953 × 131072)
    floor (104886.5)     		ty = 104886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36020 / 104886 ti = "17/36020/104886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36020/104886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36020 ÷ 217
    36020 ÷ 131072     		x = 0.274810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104886 ÷ 217
    104886 ÷ 131072     		y = 0.800216674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.45037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41490553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800216674804688 × 2 - 1) × π
    -0.600433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88631700004921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41490553} λ = -1.41490553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88631700004921))-π/2
    2×atan(0.151629232165832)-π/2
    2×0.150482946614789-π/2
    0.300965893229578-1.57079632675     		φ = -1.26983043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41490553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.068115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26983043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.755924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36020 KachelY 104886 -1.41490553 -1.26983043 -81.068115 -72.755924
    Oben rechts KachelX + 1 36021 KachelY 104886 -1.41485759 -1.26983043 -81.065369 -72.755924
    Unten links KachelX 36020 KachelY + 1 104887 -1.41490553 -1.26984464 -81.068115 -72.756739
    Unten rechts KachelX + 1 36021 KachelY + 1 104887 -1.41485759 -1.26984464 -81.065369 -72.756739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26983043--1.26984464) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26983043--1.26984464) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41490553--1.41485759) × cos(-1.26983043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296442825116996 × 6371000     		do = 90.5412692289898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41490553--1.41485759) × cos(-1.26984464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29642925381802 × 6371000     		du = 90.5371242049571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26983043)-sin(-1.26984464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296442825116996-0.29642925381802)×R²
    abs(-1.41485759--1.41490553)×1.35712989764447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35712989764447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35712989764447e-05×40589641000000     		ar = 8196.68640881034m²