Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3602 / 3574
↖ ↑ ↗
← N 70.685422°
W100.854492°		 ← 808.10 m → N 70.685422°
W100.832520°		 →
↑
808.29 m
↓
↑
808.29 m
↓
N 70.678152°
W100.854492°		 ← 808.40 m →
653 300 m²		 N 70.678152°
W100.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219879150390625 y=0.218170166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219879150390625 × 214)
    floor (0.219879150390625 × 16384)
    floor (3602.5)     		tx = 3602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218170166015625 × 214)
    floor (0.218170166015625 × 16384)
    floor (3574.5)     		ty = 3574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3602 / 3574 ti = "14/3602/3574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3602/3574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3602 ÷ 214
    3602 ÷ 16384     		x = 0.2198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3574 ÷ 214
    3574 ÷ 16384     		y = 0.2181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2181396484375 × 2 - 1) × π
    0.563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77098081956335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76024295} λ = -1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77098081956335))-π/2
    2×atan(5.87661443403756)-π/2
    2×1.40224483205659-π/2
    2.80448966411318-1.57079632675     		φ = 1.23369334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23369334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.685422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3602 KachelY 3574 -1.76024295 1.23369334 -100.854492 70.685422
    Oben rechts KachelX + 1 3603 KachelY 3574 -1.75985946 1.23369334 -100.832520 70.685422
    Unten links KachelX 3602 KachelY + 1 3575 -1.76024295 1.23356647 -100.854492 70.678152
    Unten rechts KachelX + 1 3603 KachelY + 1 3575 -1.75985946 1.23356647 -100.832520 70.678152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23369334-1.23356647) × R
    0.000126870000000112 × 6371000     		dl = 808.288770000715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23369334-1.23356647) × R
    0.000126870000000112 × 6371000     		dr = 808.288770000715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76024295--1.75985946) × cos(1.23369334) × R
    0.000383490000000153 × 0.330754523820752 × 6371000     		do = 808.104344458591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76024295--1.75985946) × cos(1.23356647) × R
    0.000383490000000153 × 0.330874250512052 × 6371000     		du = 808.396862481533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23369334)-sin(1.23356647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330754523820752-0.330874250512052)×R²
    abs(-1.75985946--1.76024295)×0.000119726691299948×R²
    0.000383490000000153×0.000119726691299948×6371000²
    0.000383490000000153×0.000119726691299948×40589641000000     		ar = 653299.887007197m²