Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3602 / 2578
↖ ↑ ↗
← N 76.750473°
W100.854492°		 ← 559.97 m → N 76.750473°
W100.832520°		 →
↑
560.14 m
↓
↑
560.14 m
↓
N 76.745436°
W100.854492°		 ← 560.18 m →
313 717 m²		 N 76.745436°
W100.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219879150390625 y=0.157379150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219879150390625 × 214)
    floor (0.219879150390625 × 16384)
    floor (3602.5)     		tx = 3602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157379150390625 × 214)
    floor (0.157379150390625 × 16384)
    floor (2578.5)     		ty = 2578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3602 / 2578 ti = "14/3602/2578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3602/2578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3602 ÷ 214
    3602 ÷ 16384     		x = 0.2198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2578 ÷ 214
    2578 ÷ 16384     		y = 0.1573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1573486328125 × 2 - 1) × π
    0.685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15294203573596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76024295} λ = -1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15294203573596))-π/2
    2×atan(8.6101525472727)-π/2
    2×1.45517239103093-π/2
    2.91034478206186-1.57079632675     		φ = 1.33954846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33954846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.750473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3602 KachelY 2578 -1.76024295 1.33954846 -100.854492 76.750473
    Oben rechts KachelX + 1 3603 KachelY 2578 -1.75985946 1.33954846 -100.832520 76.750473
    Unten links KachelX 3602 KachelY + 1 2579 -1.76024295 1.33946054 -100.854492 76.745436
    Unten rechts KachelX + 1 3603 KachelY + 1 2579 -1.75985946 1.33946054 -100.832520 76.745436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33954846-1.33946054) × R
    8.79200000001301e-05 × 6371000     		dl = 560.138320000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33954846-1.33946054) × R
    8.79200000001301e-05 × 6371000     		dr = 560.138320000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76024295--1.75985946) × cos(1.33954846) × R
    0.000383490000000153 × 0.229192351683461 × 6371000     		do = 559.966143388137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76024295--1.75985946) × cos(1.33946054) × R
    0.000383490000000153 × 0.229277930468363 × 6371000     		du = 560.17523074112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33954846)-sin(1.33946054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229192351683461-0.229277930468363)×R²
    abs(-1.75985946--1.76024295)×8.55787849022849e-05×R²
    0.000383490000000153×8.55787849022849e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.55787849022849e-05×40589641000000     		ar = 313717.053935338m²