Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36019 / 37796
↖ ↑ ↗
← S 26.608174°
E 17.858276°		 ← 546.16 m → S 26.608174°
E 17.863770°		 →
↑
546.12 m
↓
↑
546.12 m
↓
S 26.613086°
E 17.858276°		 ← 546.13 m →
298 262 m²		 S 26.613086°
E 17.863770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549613952636719 y=0.576728820800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549613952636719 × 216)
    floor (0.549613952636719 × 65536)
    floor (36019.5)     		tx = 36019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576728820800781 × 216)
    floor (0.576728820800781 × 65536)
    floor (37796.5)     		ty = 37796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36019 / 37796 ti = "16/36019/37796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36019/37796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36019 ÷ 216
    36019 ÷ 65536     		x = 0.549606323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37796 ÷ 216
    37796 ÷ 65536     		y = 0.57672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549606323242188 × 2 - 1) × π
    0.099212646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31168572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.1534423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.482053462579285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31168572} λ = 0.31168572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482053462579285))-π/2
    2×atan(0.617514046988464)-π/2
    2×0.553198038017778-π/2
    1.10639607603556-1.57079632675     		φ = -0.46440025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31168572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.858276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46440025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.608174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36019 KachelY 37796 0.31168572 -0.46440025 17.858276 -26.608174
    Oben rechts KachelX + 1 36020 KachelY 37796 0.31178160 -0.46440025 17.863770 -26.608174
    Unten links KachelX 36019 KachelY + 1 37797 0.31168572 -0.46448597 17.858276 -26.613086
    Unten rechts KachelX + 1 36020 KachelY + 1 37797 0.31178160 -0.46448597 17.863770 -26.613086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46440025--0.46448597) × R
    8.57200000000113e-05 × 6371000     		dl = 546.122120000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46440025--0.46448597) × R
    8.57200000000113e-05 × 6371000     		dr = 546.122120000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31168572-0.31178160) × cos(-0.46440025) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894090346411933 × 6371000     		do = 546.1564113594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31168572-0.31178160) × cos(-0.46448597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894051950283375 × 6371000     		du = 546.132957027444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46440025)-sin(-0.46448597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894090346411933-0.894051950283375)×R²
    abs(0.31178160-0.31168572)×3.83961285577161e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83961285577161e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83961285577161e-05×40589641000000     		ar = 298261.692941041m²