Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36018 / 104887
↖ ↑ ↗
← S 72.756739°
W 81.073608°		 ← 90.52 m → S 72.756739°
W 81.070862°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 72.757553°
W 81.073608°		 ← 90.51 m →
8 195 m²		 S 72.757553°
W 81.070862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274799346923828 y=0.800228118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274799346923828 × 217)
    floor (0.274799346923828 × 131072)
    floor (36018.5)     		tx = 36018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800228118896484 × 217)
    floor (0.800228118896484 × 131072)
    floor (104887.5)     		ty = 104887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36018 / 104887 ti = "17/36018/104887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36018/104887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36018 ÷ 217
    36018 ÷ 131072     		x = 0.274795532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104887 ÷ 217
    104887 ÷ 131072     		y = 0.800224304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274795532226562 × 2 - 1) × π
    -0.450408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41500140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800224304199219 × 2 - 1) × π
    -0.600448608398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.88636493694883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41500140} λ = -1.41500140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88636493694883))-π/2
    2×atan(0.151621963704765)-π/2
    2×0.15047584150254-π/2
    0.30095168300508-1.57079632675     		φ = -1.26984464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41500140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.073608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26984464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.756739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36018 KachelY 104887 -1.41500140 -1.26984464 -81.073608 -72.756739
    Oben rechts KachelX + 1 36019 KachelY 104887 -1.41495347 -1.26984464 -81.070862 -72.756739
    Unten links KachelX 36018 KachelY + 1 104888 -1.41500140 -1.26985885 -81.073608 -72.757553
    Unten rechts KachelX + 1 36019 KachelY + 1 104888 -1.41495347 -1.26985885 -81.070862 -72.757553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26984464--1.26985885) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26984464--1.26985885) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41500140--1.41495347) × cos(-1.26984464) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29642925381802 × 6371000     		do = 90.5182386973112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41500140--1.41495347) × cos(-1.26985885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296415682459187 × 6371000     		du = 90.5140945196282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26984464)-sin(-1.26985885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29642925381802-0.296415682459187)×R²
    abs(-1.41495347--1.41500140)×1.35713588326203e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35713588326203e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35713588326203e-05×40589641000000     		ar = 8194.60144901781m²