Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36017 / 104881
↖ ↑ ↗
← S 72.751853°
W 81.076355°		 ← 90.56 m → S 72.751853°
W 81.073608°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
S 72.752668°
W 81.076355°		 ← 90.56 m →
8 204 m²		 S 72.752668°
W 81.073608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274791717529297 y=0.800182342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274791717529297 × 217)
    floor (0.274791717529297 × 131072)
    floor (36017.5)     		tx = 36017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800182342529297 × 217)
    floor (0.800182342529297 × 131072)
    floor (104881.5)     		ty = 104881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36017 / 104881 ti = "17/36017/104881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36017/104881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36017 ÷ 217
    36017 ÷ 131072     		x = 0.274787902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104881 ÷ 217
    104881 ÷ 131072     		y = 0.800178527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274787902832031 × 2 - 1) × π
    -0.450424194335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41504934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800178527832031 × 2 - 1) × π
    -0.600357055664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.88607731555111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41504934} λ = -1.41504934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88607731555111))-π/2
    2×atan(0.151665579698037)-π/2
    2×0.150518477055724-π/2
    0.301036954111447-1.57079632675     		φ = -1.26975937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41504934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.076355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26975937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.751853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36017 KachelY 104881 -1.41504934 -1.26975937 -81.076355 -72.751853
    Oben rechts KachelX + 1 36018 KachelY 104881 -1.41500140 -1.26975937 -81.073608 -72.751853
    Unten links KachelX 36017 KachelY + 1 104882 -1.41504934 -1.26977359 -81.076355 -72.752668
    Unten rechts KachelX + 1 36018 KachelY + 1 104882 -1.41500140 -1.26977359 -81.073608 -72.752668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26975937--1.26977359) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dl = 90.5956199997051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26975937--1.26977359) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dr = 90.5956199997051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41504934--1.41500140) × cos(-1.26975937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296510690264235 × 6371000     		do = 90.5619969918052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41504934--1.41500140) × cos(-1.26977359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296497109714285 × 6371000     		du = 90.5578491422873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26975937)-sin(-1.26977359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296510690264235-0.296497109714285)×R²
    abs(-1.41500140--1.41504934)×1.35805499495989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35805499495989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35805499495989e-05×40589641000000     		ar = 8204.33237747676m²