Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36016 / 47890
↖ ↑ ↗
← S 63.592562°
E 17.841797°		 ← 271.65 m → S 63.592562°
E 17.847290°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
S 63.595005°
E 17.841797°		 ← 271.63 m →
73 793 m²		 S 63.595005°
E 17.847290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549568176269531 y=0.730751037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549568176269531 × 216)
    floor (0.549568176269531 × 65536)
    floor (36016.5)     		tx = 36016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730751037597656 × 216)
    floor (0.730751037597656 × 65536)
    floor (47890.5)     		ty = 47890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36016 / 47890 ti = "16/36016/47890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36016/47890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36016 ÷ 216
    36016 ÷ 65536     		x = 0.549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47890 ÷ 216
    47890 ÷ 65536     		y = 0.730743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549560546875 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.46148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44980359210898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31139810} λ = 0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44980359210898))-π/2
    2×atan(0.234616364074073)-π/2
    2×0.230448370942385-π/2
    0.46089674188477-1.57079632675     		φ = -1.10989958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10989958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.592562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36016 KachelY 47890 0.31139810 -1.10989958 17.841797 -63.592562
    Oben rechts KachelX + 1 36017 KachelY 47890 0.31149397 -1.10989958 17.847290 -63.592562
    Unten links KachelX 36016 KachelY + 1 47891 0.31139810 -1.10994222 17.841797 -63.595005
    Unten rechts KachelX + 1 36017 KachelY + 1 47891 0.31149397 -1.10994222 17.847290 -63.595005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10989958--1.10994222) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10989958--1.10994222) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31139810-0.31149397) × cos(-1.10989958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444751460561549 × 6371000     		do = 271.648752800626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31139810-0.31149397) × cos(-1.10994222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444713269469479 × 6371000     		du = 271.625426148666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10989958)-sin(-1.10994222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444751460561549-0.444713269469479)×R²
    abs(0.31149397-0.31139810)×3.81910920699835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81910920699835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81910920699835e-05×40589641000000     		ar = 73792.7796208698m²