Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36016 / 37793
↖ ↑ ↗
← S 26.593439°
E 17.841797°		 ← 546.17 m → S 26.593439°
E 17.847290°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
S 26.598351°
E 17.841797°		 ← 546.15 m →
298 304 m²		 S 26.598351°
E 17.847290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549568176269531 y=0.576683044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549568176269531 × 216)
    floor (0.549568176269531 × 65536)
    floor (36016.5)     		tx = 36016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576683044433594 × 216)
    floor (0.576683044433594 × 65536)
    floor (37793.5)     		ty = 37793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36016 / 37793 ti = "16/36016/37793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36016/37793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36016 ÷ 216
    36016 ÷ 65536     		x = 0.549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37793 ÷ 216
    37793 ÷ 65536     		y = 0.576675415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549560546875 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576675415039062 × 2 - 1) × π
    -0.153350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.481765841181564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31139810} λ = 0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481765841181564))-π/2
    2×atan(0.617691682786474)-π/2
    2×0.553326626056166-π/2
    1.10665325211233-1.57079632675     		φ = -0.46414307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46414307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.593439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36016 KachelY 37793 0.31139810 -0.46414307 17.841797 -26.593439
    Oben rechts KachelX + 1 36017 KachelY 37793 0.31149397 -0.46414307 17.847290 -26.593439
    Unten links KachelX 36016 KachelY + 1 37794 0.31139810 -0.46422880 17.841797 -26.598351
    Unten rechts KachelX + 1 36017 KachelY + 1 37794 0.31149397 -0.46422880 17.847290 -26.598351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46414307--0.46422880) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46414307--0.46422880) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31139810-0.31149397) × cos(-0.46414307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		do = 546.169785912286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31139810-0.31149397) × cos(-0.46422880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894167123436991 × 6371000     		du = 546.146343331383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46414307)-sin(-0.46422880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894205504331394-0.894167123436991)×R²
    abs(0.31149397-0.31139810)×3.83808944033337e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83808944033337e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83808944033337e-05×40589641000000     		ar = 298303.796019424m²