Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36015 / 104882
↖ ↑ ↗
← S 72.752668°
W 81.081848°		 ← 90.54 m → S 72.752668°
W 81.079102°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 72.753482°
W 81.081848°		 ← 90.53 m →
8 196 m²		 S 72.753482°
W 81.079102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274776458740234 y=0.800189971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274776458740234 × 217)
    floor (0.274776458740234 × 131072)
    floor (36015.5)     		tx = 36015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800189971923828 × 217)
    floor (0.800189971923828 × 131072)
    floor (104882.5)     		ty = 104882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36015 / 104882 ti = "17/36015/104882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36015/104882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36015 ÷ 217
    36015 ÷ 131072     		x = 0.274772644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104882 ÷ 217
    104882 ÷ 131072     		y = 0.800186157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274772644042969 × 2 - 1) × π
    -0.450454711914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41514521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800186157226562 × 2 - 1) × π
    -0.600372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88612525245073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41514521} λ = -1.41514521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88612525245073))-π/2
    2×atan(0.151658309494624)-π/2
    2×0.150511370316866-π/2
    0.301022740633732-1.57079632675     		φ = -1.26977359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41514521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.081848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26977359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.752668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36015 KachelY 104882 -1.41514521 -1.26977359 -81.081848 -72.752668
    Oben rechts KachelX + 1 36016 KachelY 104882 -1.41509728 -1.26977359 -81.079102 -72.752668
    Unten links KachelX 36015 KachelY + 1 104883 -1.41514521 -1.26978780 -81.081848 -72.753482
    Unten rechts KachelX + 1 36016 KachelY + 1 104883 -1.41509728 -1.26978780 -81.079102 -72.753482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26977359--1.26978780) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dl = 90.5319100000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26977359--1.26978780) × R
    1.42100000000145e-05 × 6371000     		dr = 90.5319100000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41514521--1.41509728) × cos(-1.26977359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296497109714285 × 6371000     		do = 90.5389593115422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41514521--1.41509728) × cos(-1.26978780) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296483538654761 × 6371000     		du = 90.5348152252566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26977359)-sin(-1.26978780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296497109714285-0.296483538654761)×R²
    abs(-1.41509728--1.41514521)×1.35710595241534e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35710595241534e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35710595241534e-05×40589641000000     		ar = 8196.47733004963m²