Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36014 / 47810
↖ ↑ ↗
← S 63.396442°
E 17.830810°		 ← 273.55 m → S 63.396442°
E 17.836304°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
S 63.398902°
E 17.830810°		 ← 273.52 m →
74 814 m²		 S 63.398902°
E 17.836304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549537658691406 y=0.729530334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549537658691406 × 216)
    floor (0.549537658691406 × 65536)
    floor (36014.5)     		tx = 36014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729530334472656 × 216)
    floor (0.729530334472656 × 65536)
    floor (47810.5)     		ty = 47810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36014 / 47810 ti = "16/36014/47810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36014/47810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36014 ÷ 216
    36014 ÷ 65536     		x = 0.549530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47810 ÷ 216
    47810 ÷ 65536     		y = 0.729522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549530029296875 × 2 - 1) × π
    0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.45904541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44213368816977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31120635} λ = 0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44213368816977))-π/2
    2×atan(0.236422767664598)-π/2
    2×0.232159839896548-π/2
    0.464319679793096-1.57079632675     		φ = -1.10647665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10647665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.396442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36014 KachelY 47810 0.31120635 -1.10647665 17.830810 -63.396442
    Oben rechts KachelX + 1 36015 KachelY 47810 0.31130223 -1.10647665 17.836304 -63.396442
    Unten links KachelX 36014 KachelY + 1 47811 0.31120635 -1.10651958 17.830810 -63.398902
    Unten rechts KachelX + 1 36015 KachelY + 1 47811 0.31130223 -1.10651958 17.836304 -63.398902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10647665--1.10651958) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10647665--1.10651958) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31120635-0.31130223) × cos(-1.10647665) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447814610166313 × 6371000     		do = 273.548217385694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31120635-0.31130223) × cos(-1.10651958) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447776224905977 × 6371000     		du = 273.524769692608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10647665)-sin(-1.10651958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447814610166313-0.447776224905977)×R²
    abs(0.31130223-0.31120635)×3.83852603362267e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83852603362267e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83852603362267e-05×40589641000000     		ar = 74814.1539561446m²