Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36014 / 39326
↖ ↑ ↗
← S 33.861293°
E 17.830810°		 ← 507.24 m → S 33.861293°
E 17.836304°		 →
↑
507.20 m
↓
↑
507.20 m
↓
S 33.865854°
E 17.830810°		 ← 507.22 m →
257 265 m²		 S 33.865854°
E 17.836304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549537658691406 y=0.600074768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549537658691406 × 216)
    floor (0.549537658691406 × 65536)
    floor (36014.5)     		tx = 36014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600074768066406 × 216)
    floor (0.600074768066406 × 65536)
    floor (39326.5)     		ty = 39326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36014 / 39326 ti = "16/36014/39326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36014/39326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36014 ÷ 216
    36014 ÷ 65536     		x = 0.549530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39326 ÷ 216
    39326 ÷ 65536     		y = 0.600067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549530029296875 × 2 - 1) × π
    0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.20013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.628740375416657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31120635} λ = 0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628740375416657))-π/2
    2×atan(0.533263089429274)-π/2
    2×0.489902636498046-π/2
    0.979805272996091-1.57079632675     		φ = -0.59099105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59099105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.861293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36014 KachelY 39326 0.31120635 -0.59099105 17.830810 -33.861293
    Oben rechts KachelX + 1 36015 KachelY 39326 0.31130223 -0.59099105 17.836304 -33.861293
    Unten links KachelX 36014 KachelY + 1 39327 0.31120635 -0.59107066 17.830810 -33.865854
    Unten rechts KachelX + 1 36015 KachelY + 1 39327 0.31130223 -0.59107066 17.836304 -33.865854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59099105--0.59107066) × R
    7.96100000000077e-05 × 6371000     		dl = 507.195310000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59099105--0.59107066) × R
    7.96100000000077e-05 × 6371000     		dr = 507.195310000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31120635-0.31130223) × cos(-0.59099105) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.830388889531998 × 6371000     		do = 507.244282146138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31120635-0.31130223) × cos(-0.59107066) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.830344529462239 × 6371000     		du = 507.217184731873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59099105)-sin(-0.59107066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830388889531998-0.830344529462239)×R²
    abs(0.31130223-0.31120635)×4.43600697589419e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43600697589419e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43600697589419e-05×40589641000000     		ar = 257265.049223869m²