Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36013 / 104935
↖ ↑ ↗
← S 72.795776°
W 81.087341°		 ← 90.34 m → S 72.795776°
W 81.084595°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.796588°
W 81.087341°		 ← 90.33 m →
8 161 m²		 S 72.796588°
W 81.084595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274761199951172 y=0.800594329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274761199951172 × 217)
    floor (0.274761199951172 × 131072)
    floor (36013.5)     		tx = 36013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800594329833984 × 217)
    floor (0.800594329833984 × 131072)
    floor (104935.5)     		ty = 104935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36013 / 104935 ti = "17/36013/104935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36013/104935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36013 ÷ 217
    36013 ÷ 131072     		x = 0.274757385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104935 ÷ 217
    104935 ÷ 131072     		y = 0.800590515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274757385253906 × 2 - 1) × π
    -0.450485229492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41524109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800590515136719 × 2 - 1) × π
    -0.601181030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.88866590813059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41524109} λ = -1.41524109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88866590813059))-π/2
    2×atan(0.151273487006928)-π/2
    2×0.150135178397683-π/2
    0.300270356795367-1.57079632675     		φ = -1.27052597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41524109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.087341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27052597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.795776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36013 KachelY 104935 -1.41524109 -1.27052597 -81.087341 -72.795776
    Oben rechts KachelX + 1 36014 KachelY 104935 -1.41519315 -1.27052597 -81.084595 -72.795776
    Unten links KachelX 36013 KachelY + 1 104936 -1.41524109 -1.27054015 -81.087341 -72.796588
    Unten rechts KachelX + 1 36014 KachelY + 1 104936 -1.41519315 -1.27054015 -81.084595 -72.796588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27052597--1.27054015) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27052597--1.27054015) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41524109--1.41519315) × cos(-1.27052597) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.295778477569242 × 6371000     		do = 90.3383603880183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41524109--1.41519315) × cos(-1.27054015) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.295764932001509 × 6371000     		du = 90.3342232229697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27052597)-sin(-1.27054015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295778477569242-0.295764932001509)×R²
    abs(-1.41519315--1.41524109)×1.35455677328644e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.35455677328644e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.35455677328644e-05×40589641000000     		ar = 8161.05106422479m²