Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36012 / 104932
↖ ↑ ↗
← S 72.793338°
W 81.090088°		 ← 90.33 m → S 72.793338°
W 81.087341°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.794151°
W 81.090088°		 ← 90.33 m →
8 160 m²		 S 72.794151°
W 81.087341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274753570556641 y=0.800571441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274753570556641 × 217)
    floor (0.274753570556641 × 131072)
    floor (36012.5)     		tx = 36012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800571441650391 × 217)
    floor (0.800571441650391 × 131072)
    floor (104932.5)     		ty = 104932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36012 / 104932 ti = "17/36012/104932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36012/104932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36012 ÷ 217
    36012 ÷ 131072     		x = 0.274749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104932 ÷ 217
    104932 ÷ 131072     		y = 0.800567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.45050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41528902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.60113525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88852209743173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41528902} λ = -1.41528902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88852209743173))-π/2
    2×atan(0.151295243317171)-π/2
    2×0.150156447913389-π/2
    0.300312895826778-1.57079632675     		φ = -1.27048343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41528902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.090088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27048343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.793338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36012 KachelY 104932 -1.41528902 -1.27048343 -81.090088 -72.793338
    Oben rechts KachelX + 1 36013 KachelY 104932 -1.41524109 -1.27048343 -81.087341 -72.793338
    Unten links KachelX 36012 KachelY + 1 104933 -1.41528902 -1.27049761 -81.090088 -72.794151
    Unten rechts KachelX + 1 36013 KachelY + 1 104933 -1.41524109 -1.27049761 -81.087341 -72.794151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27048343--1.27049761) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27048343--1.27049761) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41528902--1.41524109) × cos(-1.27048343) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.295819113915592 × 6371000     		do = 90.3319251377033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41528902--1.41524109) × cos(-1.27049761) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.295805568526286 × 6371000     		du = 90.3277888901277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27048343)-sin(-1.27049761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295819113915592-0.295805568526286)×R²
    abs(-1.41524109--1.41528902)×1.35453893060355e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.35453893060355e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.35453893060355e-05×40589641000000     		ar = 8160.46974007075m²