Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3601 / 2542
↖ ↑ ↗
← N 76.930554°
W100.876465°		 ← 552.50 m → N 76.930554°
W100.854492°		 →
↑
552.56 m
↓
↑
552.56 m
↓
N 76.925585°
W100.876465°		 ← 552.71 m →
305 346 m²		 N 76.925585°
W100.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219818115234375 y=0.155181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219818115234375 × 214)
    floor (0.219818115234375 × 16384)
    floor (3601.5)     		tx = 3601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155181884765625 × 214)
    floor (0.155181884765625 × 16384)
    floor (2542.5)     		ty = 2542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3601 / 2542 ti = "14/3601/2542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3601/2542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3601 ÷ 214
    3601 ÷ 16384     		x = 0.21978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2542 ÷ 214
    2542 ÷ 16384     		y = 0.1551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76062645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1551513671875 × 2 - 1) × π
    0.689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76062645} λ = -1.76062645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16674786282654))-π/2
    2×atan(8.72984716500984)-π/2
    2×1.45674390055515-π/2
    2.9134878011103-1.57079632675     		φ = 1.34269147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76062645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.876465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34269147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.930554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3601 KachelY 2542 -1.76062645 1.34269147 -100.876465 76.930554
    Oben rechts KachelX + 1 3602 KachelY 2542 -1.76024295 1.34269147 -100.854492 76.930554
    Unten links KachelX 3601 KachelY + 1 2543 -1.76062645 1.34260474 -100.876465 76.925585
    Unten rechts KachelX + 1 3602 KachelY + 1 2543 -1.76024295 1.34260474 -100.854492 76.925585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34269147-1.34260474) × R
    8.67300000000348e-05 × 6371000     		dl = 552.556830000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34269147-1.34260474) × R
    8.67300000000348e-05 × 6371000     		dr = 552.556830000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76062645--1.76024295) × cos(1.34269147) × R
    0.00038349999999987 × 0.226131877988965 × 6371000     		do = 552.503155654875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76062645--1.76024295) × cos(1.34260474) × R
    0.00038349999999987 × 0.226216360544837 × 6371000     		du = 552.709570067262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34269147)-sin(1.34260474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226131877988965-0.226216360544837)×R²
    abs(-1.76024295--1.76062645)×8.4482555872345e-05×R²
    0.00038349999999987×8.4482555872345e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.4482555872345e-05×40589641000000     		ar = 305346.420292301m²