Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36006 / 104930
↖ ↑ ↗
← S 72.791714°
W 81.106568°		 ← 90.36 m → S 72.791714°
W 81.103821°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.792526°
W 81.106568°		 ← 90.35 m →
8 163 m²		 S 72.792526°
W 81.103821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274707794189453 y=0.800556182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274707794189453 × 217)
    floor (0.274707794189453 × 131072)
    floor (36006.5)     		tx = 36006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800556182861328 × 217)
    floor (0.800556182861328 × 131072)
    floor (104930.5)     		ty = 104930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36006 / 104930 ti = "17/36006/104930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36006/104930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36006 ÷ 217
    36006 ÷ 131072     		x = 0.274703979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104930 ÷ 217
    104930 ÷ 131072     		y = 0.800552368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274703979492188 × 2 - 1) × π
    -0.450592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41557665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800552368164062 × 2 - 1) × π
    -0.601104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88842622363249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41557665} λ = -1.41557665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88842622363249))-π/2
    2×atan(0.151309749262313)-π/2
    2×0.150170629213884-π/2
    0.300341258427768-1.57079632675     		φ = -1.27045507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41557665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.106568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27045507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.791714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36006 KachelY 104930 -1.41557665 -1.27045507 -81.106568 -72.791714
    Oben rechts KachelX + 1 36007 KachelY 104930 -1.41552871 -1.27045507 -81.103821 -72.791714
    Unten links KachelX 36006 KachelY + 1 104931 -1.41557665 -1.27046925 -81.106568 -72.792526
    Unten rechts KachelX + 1 36007 KachelY + 1 104931 -1.41552871 -1.27046925 -81.103821 -72.792526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27045507--1.27046925) × R
    1.41800000001968e-05 × 6371000     		dl = 90.3407800012539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27045507--1.27046925) × R
    1.41800000001968e-05 × 6371000     		dr = 90.3407800012539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41557665--1.41552871) × cos(-1.27045507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295846204515759 × 6371000     		do = 90.3590459403577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41557665--1.41552871) × cos(-1.27046925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295832659245417 × 6371000     		du = 90.3549088661402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27045507)-sin(-1.27046925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295846204515759-0.295832659245417)×R²
    abs(-1.41552871--1.41557665)×1.35452703414196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35452703414196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35452703414196e-05×40589641000000     		ar = 8162.91981729513m²