Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36005 / 105251
↖ ↑ ↗
← S 73.050638°
W 81.109314°		 ← 89.02 m → S 73.050638°
W 81.106568°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.051439°
W 81.109314°		 ← 89.02 m →
7 929 m²		 S 73.051439°
W 81.106568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274700164794922 y=0.803005218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274700164794922 × 217)
    floor (0.274700164794922 × 131072)
    floor (36005.5)     		tx = 36005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803005218505859 × 217)
    floor (0.803005218505859 × 131072)
    floor (105251.5)     		ty = 105251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36005 / 105251 ti = "17/36005/105251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36005/105251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36005 ÷ 217
    36005 ÷ 131072     		x = 0.274696350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105251 ÷ 217
    105251 ÷ 131072     		y = 0.803001403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274696350097656 × 2 - 1) × π
    -0.450607299804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.41562458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803001403808594 × 2 - 1) × π
    -0.606002807617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.90381396841053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41562458} λ = -1.41562458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90381396841053))-π/2
    2×atan(0.148999255691155)-π/2
    2×0.14791108117579-π/2
    0.29582216235158-1.57079632675     		φ = -1.27497416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41562458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.109314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27497416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.050638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36005 KachelY 105251 -1.41562458 -1.27497416 -81.109314 -73.050638
    Oben rechts KachelX + 1 36006 KachelY 105251 -1.41557665 -1.27497416 -81.106568 -73.050638
    Unten links KachelX 36005 KachelY + 1 105252 -1.41562458 -1.27498814 -81.109314 -73.051439
    Unten rechts KachelX + 1 36006 KachelY + 1 105252 -1.41557665 -1.27498814 -81.106568 -73.051439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27497416--1.27498814) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27497416--1.27498814) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41562458--1.41557665) × cos(-1.27497416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291526402721728 × 6371000     		do = 89.021094133759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41562458--1.41557665) × cos(-1.27498814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291513029945544 × 6371000     		du = 89.0170105956765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27497416)-sin(-1.27498814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291526402721728-0.291513029945544)×R²
    abs(-1.41557665--1.41562458)×1.33727761844615e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33727761844615e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33727761844615e-05×40589641000000     		ar = 7928.62254909531m²