Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36005 / 105247
↖ ↑ ↗
← S 73.047436°
W 81.109314°		 ← 89.04 m → S 73.047436°
W 81.106568°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.048237°
W 81.109314°		 ← 89.03 m →
7 930 m²		 S 73.048237°
W 81.106568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274700164794922 y=0.802974700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274700164794922 × 217)
    floor (0.274700164794922 × 131072)
    floor (36005.5)     		tx = 36005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802974700927734 × 217)
    floor (0.802974700927734 × 131072)
    floor (105247.5)     		ty = 105247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36005 / 105247 ti = "17/36005/105247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36005/105247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36005 ÷ 217
    36005 ÷ 131072     		x = 0.274696350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105247 ÷ 217
    105247 ÷ 131072     		y = 0.802970886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274696350097656 × 2 - 1) × π
    -0.450607299804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.41562458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802970886230469 × 2 - 1) × π
    -0.605941772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.90362222081205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41562458} λ = -1.41562458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90362222081205))-π/2
    2×atan(0.149027828679923)-π/2
    2×0.147939033482584-π/2
    0.295878066965168-1.57079632675     		φ = -1.27491826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41562458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.109314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27491826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.047436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36005 KachelY 105247 -1.41562458 -1.27491826 -81.109314 -73.047436
    Oben rechts KachelX + 1 36006 KachelY 105247 -1.41557665 -1.27491826 -81.106568 -73.047436
    Unten links KachelX 36005 KachelY + 1 105248 -1.41562458 -1.27493224 -81.109314 -73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 36006 KachelY + 1 105248 -1.41557665 -1.27493224 -81.106568 -73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27491826--1.27493224) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27491826--1.27493224) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41562458--1.41557665) × cos(-1.27491826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29157987412575 × 6371000     		do = 89.0374222702379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41562458--1.41557665) × cos(-1.27493224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 89.0333388017286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27491826)-sin(-1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29157987412575-0.291566501577403)×R²
    abs(-1.41557665--1.41562458)×1.33725483461578e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33725483461578e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33725483461578e-05×40589641000000     		ar = 7930.07684367077m²