Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36001 / 105249
↖ ↑ ↗
← S 73.049037°
W 81.120300°		 ← 89.05 m → S 73.049037°
W 81.117554°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.049838°
W 81.120300°		 ← 89.04 m →
7 931 m²		 S 73.049838°
W 81.117554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274669647216797 y=0.802989959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274669647216797 × 217)
    floor (0.274669647216797 × 131072)
    floor (36001.5)     		tx = 36001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802989959716797 × 217)
    floor (0.802989959716797 × 131072)
    floor (105249.5)     		ty = 105249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36001 / 105249 ti = "17/36001/105249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36001/105249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36001 ÷ 217
    36001 ÷ 131072     		x = 0.274665832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105249 ÷ 217
    105249 ÷ 131072     		y = 0.802986145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274665832519531 × 2 - 1) × π
    -0.450668334960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41581633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802986145019531 × 2 - 1) × π
    -0.605972290039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.90371809461129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41581633} λ = -1.41581633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90371809461129))-π/2
    2×atan(0.149013541500689)-π/2
    2×0.147925056688321-π/2
    0.295850113376641-1.57079632675     		φ = -1.27494621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41581633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.120300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27494621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.049037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36001 KachelY 105249 -1.41581633 -1.27494621 -81.120300 -73.049037
    Oben rechts KachelX + 1 36002 KachelY 105249 -1.41576839 -1.27494621 -81.117554 -73.049037
    Unten links KachelX 36001 KachelY + 1 105250 -1.41581633 -1.27496019 -81.120300 -73.049838
    Unten rechts KachelX + 1 36002 KachelY + 1 105250 -1.41576839 -1.27496019 -81.117554 -73.049838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27494621--1.27496019) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27494621--1.27496019) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41581633--1.41576839) × cos(-1.27494621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29155313853762 × 6371000     		do = 89.0478330871167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41581633--1.41576839) × cos(-1.27496019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291539765875349 × 6371000     		du = 89.043748731847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27494621)-sin(-1.27496019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29155313853762-0.291539765875349)×R²
    abs(-1.41576839--1.41581633)×1.33726622705277e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33726622705277e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33726622705277e-05×40589641000000     		ar = 7931.00405996791m²