Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36000 / 37856
↖ ↑ ↗
← S 26.902477°
E 17.753906°		 ← 544.69 m → S 26.902477°
E 17.759399°		 →
↑
544.66 m
↓
↑
544.66 m
↓
S 26.907375°
E 17.753906°		 ← 544.66 m →
296 661 m²		 S 26.907375°
E 17.759399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549324035644531 y=0.577644348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549324035644531 × 216)
    floor (0.549324035644531 × 65536)
    floor (36000.5)     		tx = 36000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577644348144531 × 216)
    floor (0.577644348144531 × 65536)
    floor (37856.5)     		ty = 37856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36000 / 37856 ti = "16/36000/37856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36000/37856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36000 ÷ 216
    36000 ÷ 65536     		x = 0.54931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37856 ÷ 216
    37856 ÷ 65536     		y = 0.57763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54931640625 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.487805890533691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30986412} λ = 0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487805890533691))-π/2
    2×atan(0.613972039261667)-π/2
    2×0.550629764100038-π/2
    1.10125952820008-1.57079632675     		φ = -0.46953680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46953680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.902477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36000 KachelY 37856 0.30986412 -0.46953680 17.753906 -26.902477
    Oben rechts KachelX + 1 36001 KachelY 37856 0.30995999 -0.46953680 17.759399 -26.902477
    Unten links KachelX 36000 KachelY + 1 37857 0.30986412 -0.46962229 17.753906 -26.907375
    Unten rechts KachelX + 1 36001 KachelY + 1 37857 0.30995999 -0.46962229 17.759399 -26.907375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46953680--0.46962229) × R
    8.54900000000214e-05 × 6371000     		dl = 544.656790000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46953680--0.46962229) × R
    8.54900000000214e-05 × 6371000     		dr = 544.656790000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30986412-0.30995999) × cos(-0.46953680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891777969470339 × 6371000     		do = 544.687077307904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30986412-0.30995999) × cos(-0.46962229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891739284272387 × 6371000     		du = 544.663448862116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46953680)-sin(-0.46962229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891777969470339-0.891739284272387)×R²
    abs(0.30995999-0.30986412)×3.86851979511382e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86851979511382e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86851979511382e-05×40589641000000     		ar = 296661.080565185m²