Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36000 / 105248
↖ ↑ ↗
← S 73.048237°
W 81.123047°		 ← 89.05 m → S 73.048237°
W 81.120300°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
S 73.049037°
W 81.123047°		 ← 89.05 m →
7 926 m²		 S 73.049037°
W 81.120300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274662017822266 y=0.802982330322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274662017822266 × 217)
    floor (0.274662017822266 × 131072)
    floor (36000.5)     		tx = 36000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802982330322266 × 217)
    floor (0.802982330322266 × 131072)
    floor (105248.5)     		ty = 105248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36000 / 105248 ti = "17/36000/105248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36000/105248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36000 ÷ 217
    36000 ÷ 131072     		x = 0.274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105248 ÷ 217
    105248 ÷ 131072     		y = 0.802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41586427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90367015771167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41586427} λ = -1.41586427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90367015771167))-π/2
    2×atan(0.149020684919085)-π/2
    2×0.147932044925229-π/2
    0.295864089850458-1.57079632675     		φ = -1.27493224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41586427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.123047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27493224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.048237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36000 KachelY 105248 -1.41586427 -1.27493224 -81.123047 -73.048237
    Oben rechts KachelX + 1 36001 KachelY 105248 -1.41581633 -1.27493224 -81.120300 -73.048237
    Unten links KachelX 36000 KachelY + 1 105249 -1.41586427 -1.27494621 -81.123047 -73.049037
    Unten rechts KachelX + 1 36001 KachelY + 1 105249 -1.41581633 -1.27494621 -81.120300 -73.049037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27493224--1.27494621) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dl = 89.0028699994825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27493224--1.27494621) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dr = 89.0028699994825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41586427--1.41581633) × cos(-1.27493224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291566501577403 × 6371000     		do = 89.0519145034312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41586427--1.41581633) × cos(-1.27494621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29155313853762 × 6371000     		du = 89.0478330871167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27493224)-sin(-1.27494621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291566501577403-0.29155313853762)×R²
    abs(-1.41581633--1.41586427)×1.33630397834983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33630397834983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33630397834983e-05×40589641000000     		ar = 7925.69434086012m²