Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 36 / 14
↖ ↑ ↗
← N 83.026219°
W129.375000°		 ← 18.985 km → N 83.026219°
W127.968750°		 →
↑
19.219 km
↓
↑
19.219 km
↓
N 82.853382°
W129.375000°		 ← 19.454 km →
369.370 km²		 N 82.853382°
W127.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142578125 y=0.056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142578125 × 28)
    floor (0.142578125 × 256)
    floor (36.5)     		tx = 36
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.056640625 × 28)
    floor (0.056640625 × 256)
    floor (14.5)     		ty = 14
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 36 / 14 ti = "8/36/14"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/36/14.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36 ÷ 28
    36 ÷ 256     		x = 0.140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14 ÷ 28
    14 ÷ 256     		y = 0.0546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140625 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25801972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0546875 × 2 - 1) × π
    0.890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25801972} λ = -2.25801972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79798095702344))-π/2
    2×atan(16.41147781857)-π/2
    2×1.50993860562963-π/2
    3.01987721125925-1.57079632675     		φ = 1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25801972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36 KachelY 14 -2.25801972 1.44908088 -129.375000 83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 37 KachelY 14 -2.23347603 1.44908088 -127.968750 83.026219
    Unten links KachelX 36 KachelY + 1 15 -2.25801972 1.44606432 -129.375000 82.853382
    Unten rechts KachelX + 1 37 KachelY + 1 15 -2.23347603 1.44606432 -127.968750 82.853382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44908088-1.44606432) × R
    0.00301655999999983 × 6371000     		dl = 19218.5037599989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44908088-1.44606432) × R
    0.00301655999999983 × 6371000     		dr = 19218.5037599989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25801972--2.23347603) × cos(1.44908088) × R
    0.0245436900000002 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 18985.4243866977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25801972--2.23347603) × cos(1.44606432) × R
    0.0245436900000002 × 0.124408826678382 × 6371000     		du = 19453.5406230684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44908088)-sin(1.44606432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.124408826678382)×R²
    abs(-2.23347603--2.25801972)×0.00299368597441479×R²
    0.0245436900000002×0.00299368597441479×6371000²
    0.0245436900000002×0.00299368597441479×40589641000000     		ar = 369369976.879584m²