Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35998 / 104934
↖ ↑ ↗
← S 72.794963°
W 81.128540°		 ← 90.34 m → S 72.794963°
W 81.125793°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.795776°
W 81.128540°		 ← 90.34 m →
8 161 m²		 S 72.795776°
W 81.125793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274646759033203 y=0.800586700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274646759033203 × 217)
    floor (0.274646759033203 × 131072)
    floor (35998.5)     		tx = 35998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800586700439453 × 217)
    floor (0.800586700439453 × 131072)
    floor (104934.5)     		ty = 104934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35998 / 104934 ti = "17/35998/104934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35998/104934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35998 ÷ 217
    35998 ÷ 131072     		x = 0.274642944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104934 ÷ 217
    104934 ÷ 131072     		y = 0.800582885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274642944335938 × 2 - 1) × π
    -0.450714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41596014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800582885742188 × 2 - 1) × π
    -0.601165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88861797123097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41596014} λ = -1.41596014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88861797123097))-π/2
    2×atan(0.151280738762701)-π/2
    2×0.150142267911598-π/2
    0.300284535823196-1.57079632675     		φ = -1.27051179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41596014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.128540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27051179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.794963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35998 KachelY 104934 -1.41596014 -1.27051179 -81.128540 -72.794963
    Oben rechts KachelX + 1 35999 KachelY 104934 -1.41591220 -1.27051179 -81.125793 -72.794963
    Unten links KachelX 35998 KachelY + 1 104935 -1.41596014 -1.27052597 -81.128540 -72.795776
    Unten rechts KachelX + 1 35999 KachelY + 1 104935 -1.41591220 -1.27052597 -81.125793 -72.795776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27051179--1.27052597) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27051179--1.27052597) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41596014--1.41591220) × cos(-1.27051179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295792023077502 × 6371000     		do = 90.3424975344838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41596014--1.41591220) × cos(-1.27052597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295778477569242 × 6371000     		du = 90.3383603875998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27051179)-sin(-1.27052597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295792023077502-0.295778477569242)×R²
    abs(-1.41591220--1.41596014)×1.35455082600489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35455082600489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35455082600489e-05×40589641000000     		ar = 8161.42481800593m²