Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35994 / 104478
↖ ↑ ↗
← S 72.420609°
W 81.139526°		 ← 92.25 m → S 72.420609°
W 81.136780°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 72.421438°
W 81.139526°		 ← 92.24 m →
8 510 m²		 S 72.421438°
W 81.136780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274616241455078 y=0.797107696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274616241455078 × 217)
    floor (0.274616241455078 × 131072)
    floor (35994.5)     		tx = 35994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797107696533203 × 217)
    floor (0.797107696533203 × 131072)
    floor (104478.5)     		ty = 104478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35994 / 104478 ti = "17/35994/104478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35994/104478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35994 ÷ 217
    35994 ÷ 131072     		x = 0.274612426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104478 ÷ 217
    104478 ÷ 131072     		y = 0.797103881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274612426757812 × 2 - 1) × π
    -0.450775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41615189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797103881835938 × 2 - 1) × π
    -0.594207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86675874500423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41615189} λ = -1.41615189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86675874500423))-π/2
    2×atan(0.154624026370456)-π/2
    2×0.153409126456728-π/2
    0.306818252913456-1.57079632675     		φ = -1.26397807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41615189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.139526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26397807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.420609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35994 KachelY 104478 -1.41615189 -1.26397807 -81.139526 -72.420609
    Oben rechts KachelX + 1 35995 KachelY 104478 -1.41610395 -1.26397807 -81.136780 -72.420609
    Unten links KachelX 35994 KachelY + 1 104479 -1.41615189 -1.26399255 -81.139526 -72.421438
    Unten rechts KachelX + 1 35995 KachelY + 1 104479 -1.41610395 -1.26399255 -81.136780 -72.421438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26397807--1.26399255) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dl = 92.2520799995405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26397807--1.26399255) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dr = 92.2520799995405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41615189--1.41610395) × cos(-1.26397807) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302027016563266 × 6371000     		do = 92.2468250341945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41615189--1.41610395) × cos(-1.26399255) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302013212756783 × 6371000     		du = 92.2426089963847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26397807)-sin(-1.26399255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302027016563266-0.302013212756783)×R²
    abs(-1.41610395--1.41615189)×1.38038064825818e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.38038064825818e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.38038064825818e-05×40589641000000     		ar = 8509.76701380936m²