Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35993 / 104460
↖ ↑ ↗
← S 72.405671°
W 81.142273°		 ← 92.32 m → S 72.405671°
W 81.139526°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
S 72.406501°
W 81.142273°		 ← 92.32 m →
8 523 m²		 S 72.406501°
W 81.139526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274608612060547 y=0.796970367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274608612060547 × 217)
    floor (0.274608612060547 × 131072)
    floor (35993.5)     		tx = 35993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796970367431641 × 217)
    floor (0.796970367431641 × 131072)
    floor (104460.5)     		ty = 104460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35993 / 104460 ti = "17/35993/104460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35993/104460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35993 ÷ 217
    35993 ÷ 131072     		x = 0.274604797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104460 ÷ 217
    104460 ÷ 131072     		y = 0.796966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274604797363281 × 2 - 1) × π
    -0.450790405273438 × 3.1415926535     		Λ = -1.41619983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.59393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86589588081107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41619983} λ = -1.41619983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86589588081107))-π/2
    2×atan(0.154757503484243)-π/2
    2×0.153539484209336-π/2
    0.307078968418672-1.57079632675     		φ = -1.26371736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41619983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.142273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26371736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.405671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35993 KachelY 104460 -1.41619983 -1.26371736 -81.142273 -72.405671
    Oben rechts KachelX + 1 35994 KachelY 104460 -1.41615189 -1.26371736 -81.139526 -72.405671
    Unten links KachelX 35993 KachelY + 1 104461 -1.41619983 -1.26373185 -81.142273 -72.406501
    Unten rechts KachelX + 1 35994 KachelY + 1 104461 -1.41615189 -1.26373185 -81.139526 -72.406501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26371736--1.26373185) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26371736--1.26373185) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41619983--1.41615189) × cos(-1.26371736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302275540973824 × 6371000     		do = 92.3227307857699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41619983--1.41615189) × cos(-1.26373185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302261728775711 × 6371000     		du = 92.3185121849402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26371736)-sin(-1.26373185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302275540973824-0.302261728775711)×R²
    abs(-1.41615189--1.41619983)×1.38121981129724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38121981129724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38121981129724e-05×40589641000000     		ar = 8522.65110592364m²