Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35991 / 37781
↖ ↑ ↗
← S 26.534480°
E 17.704467°		 ← 546.51 m → S 26.534480°
E 17.709961°		 →
↑
546.44 m
↓
↑
546.44 m
↓
S 26.539394°
E 17.704467°		 ← 546.48 m →
298 628 m²		 S 26.539394°
E 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549186706542969 y=0.576499938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549186706542969 × 216)
    floor (0.549186706542969 × 65536)
    floor (35991.5)     		tx = 35991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576499938964844 × 216)
    floor (0.576499938964844 × 65536)
    floor (37781.5)     		ty = 37781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35991 / 37781 ti = "16/35991/37781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35991/37781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35991 ÷ 216
    35991 ÷ 65536     		x = 0.549179077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37781 ÷ 216
    37781 ÷ 65536     		y = 0.576492309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549179077148438 × 2 - 1) × π
    0.098358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30900125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576492309570312 × 2 - 1) × π
    -0.152984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.480615355590683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30900125} λ = 0.30900125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480615355590683))-π/2
    2×atan(0.618402737117578)-π/2
    2×0.553841143720936-π/2
    1.10768228744187-1.57079632675     		φ = -0.46311404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30900125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.704467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46311404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.534480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35991 KachelY 37781 0.30900125 -0.46311404 17.704467 -26.534480
    Oben rechts KachelX + 1 35992 KachelY 37781 0.30909713 -0.46311404 17.709961 -26.534480
    Unten links KachelX 35991 KachelY + 1 37782 0.30900125 -0.46319981 17.704467 -26.539394
    Unten rechts KachelX + 1 35992 KachelY + 1 37782 0.30909713 -0.46319981 17.709961 -26.539394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46311404--0.46319981) × R
    8.5769999999985e-05 × 6371000     		dl = 546.440669999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46311404--0.46319981) × R
    8.5769999999985e-05 × 6371000     		dr = 546.440669999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30900125-0.30909713) × cos(-0.46311404) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894665682980027 × 6371000     		do = 546.507856553518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30900125-0.30909713) × cos(-0.46319981) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894627363117402 × 6371000     		du = 546.48444880872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46311404)-sin(-0.46319981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894665682980027-0.894627363117402)×R²
    abs(0.30909713-0.30900125)×3.83198626251469e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83198626251469e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83198626251469e-05×40589641000000     		ar = 298627.724006542m²